Глава 2 структурные схемы и их преобразования

2.1. Понятие о структурной схеме

Пусть между переменными x₁ и x₂ установлено линейное преобразование

. (2.1)

Введем понятие “звена”, которому присвоим свойство производить преобразование W над входным сигналом x_1. Изобразим это звено в виде прямоугольника, и укажем направление действия сигнала стрелками. Тогда преобразованию в алгебраической форме (2.1) будет соответствовать схема, изображенная на рис. 2.1.

Рис. 2.1

Если в преобразовании участвует более двух переменных, то графическим изображением такого преобразования уже будет схема с несколькими звеньями, соединенными между собой связями. Для того, чтобы схема была эквивалентна своей алгебраической форме, на звено и связи должны быть наложены следующие условия: 1) звено обладает детекторным эффектом, то есть сигнал в звене проходит только в одном направлении: от входа к выходу;

2) при разветвлении сигнала в узле он не делится.

Схемы, составленные из таких звеньев, называются структурными схемами. При изображении структурных схем придерживаются следующих условных обозначений: внутри прямоугольника, определяющего звено, указывается его функция преобразования; соединения звеньев показываются линиями со стрелками, показывающими направления действия сигналов; в месте разветвления сигнала ставится точка (рис.2.2, а); суммирование сигналов обозначается кружком с указанием знака операции (рис.2.2, б); узел сравнения обозначается кружком с перекрещенными линиями (рис.2.2, в).

Рис. 2.2

Н а приведенном ниже примере читатель может убедиться в эквивалентности системы уравнений и изображенной рядом структурной схемы.

Решить систему уравнений относительно двух переменных, например, относительно _, где зависимая переменная, это значит найти зависимость , в которой исключены все остальные переменные. Получить это же решение на структурной схеме, это значит преобразовать схему в эквивалентное звено, входом и выходом которого должны быть точки действия соответствующих переменных, в данном случае это и _. При этом входом схемы служит независимая переменная , а выходом зависимая переменная .

Вывод. Структурная схема является одним из методов записи и решения систем линейных алгебраических уравнений. Решение системы превращается в процедуру преобразования структурной схемы в эквивалентное звено.

2.2. Правила преобразования структурных схем

Приведенные ниже правила показывают основные, типовые преобразования простейших схем в эквивалентное звено и определяют формулы для определения передаточной функции этого звена. Правила иллюстрируются на примерах соединения (2-3) звеньев.

Последовательное соединение звеньев (рис.2.3). Такому соединению звеньев эквивалентна следующая система уравнений

Рис. 2.3

Подстановка первого уравнения во второе, а второго в третье дает решение системы уравнений и значение передаточной функции эквивалентного звена

.

В общем случае при последовательном соединении n звеньев их передаточные функции перемножаются

. (2.2)

Параллельное соединение звеньев (рис.2.4). При параллельном соединении на входах звеньев действует единый сигнал, а выходные сигналы складываются (или вычитаются). Это равносильно следующей системе уравнений

x₄

Рис. 2.4

Подставляя первые три уравнения системы в четвертое, получим

.

При параллельном соединении n звеньев их передаточные функции складываются

. (2.3)

Схема с обратной связью (рис.2.5). В схемах этого типа сигнал с выхода схемы подается на ее вход со знаком (-) или (+), преобразуясь предварительно в звене обратной связи. Такой схеме соответствует следующая система алгебраических уравнений

Рис. 2.5

После исключения переменных и х получим решение системы и значение эквивалентной передаточной функции

. (2.4)

В этой формуле знак (+) соответствует отрицательной обратной связи, а знак (-) положительной.

Перенос точки разветвления через звено. В исходной схеме (рис.2.6, а) точка разветвления может быть перенесена как по ходу сигнала, так и против хода.

При переносе точки по ходу сигнала (рис. 2.6,б) в цепь ответвления сигнала ставится звено с передаточной функцией 1/W₂ , в результате чего сигнал восстанавливается от лишнего преобразования W₂.

П

Рис. 2.6

ри переносе точки разветвления против хода сигнала (рис. 2.6,в) в цепь ответвления ставится звено, эквивалентное тому, через которое точка переносится. При этом сигнал при переносе не теряет преобразование W_{1 .}

П ример 2.1. Для структурной схемы изображенной на рис. 2.7,а найти передаточную функцию относительно точек , . Последовательность упрощений исходной схемы показана на рис. 2.7,б,в. З венья W₂,W₆ соединены параллельно, и поэтому запишем _. Преобразованию группы звеньев W₃,W₄,W₇ мешает точка съема сигнала а, поэтому переносим ее по ходу сигнала через звено W₄. Схема, полученная после этих преобразований, приведена на рис. 2.7,б. Далее преобразуем две группы последовательно соединенных звеньев W₉ = W₁W₈, W₁₀ = W₅ + 1/W₄ и цепь с отрицательной обратной связью W₁₁=W₃W₄/ (1+W₃ W₄W₇).

В результате получена схема изображенная на рис. 2.7,в, представляющая собой контур с положительной ОС. Преобразование этого контура дает следующую передаточную функцию

.

После соответствующих подстановок и преобразований окончательно получим

. (2.5)

Во многих практических расчетах структурные схемы настолько сложные, что пользоваться методом последовательных преобразований становится неудобно, и в этих случаях используют универсальную формулу Мейсона. По формуле Мейсона передаточная функция относительно точек c-вход и d-выход определяется так

. (2.6)

Здесь m – количество прямых путей от c к d , а - передаточная функция i-го прямого пути; k – количество независимых замкнутых контуров схемы, а - передаточная функция j-го контура; знаком « » обозначено исключение в числителе и знаменателе всех слагаемых в которых встречаются произведения передаточных функций одних и тех же звеньев (включая звенья с передаточной функцией, равной единице).

Пример 2.2. Найти по формуле Мейсона передаточную функцию структурной схемы предыдущего примера (рис. 2.7,а).

Решение. Схема имеет два прямых пути (n=2) это W₁W₂W₃W₄ и W₁W₆ (-1)W₃W₄; три замкнутых контура (m=3) W₁W₂W₃W₅ , W₁W₆(-1)W₃W_{5 ,} W₃W₄W₇(-1). Подставив эти значения в формулу (2.6), получим

,

где .

После раскрытия скобок и исключения всех слагаемых, содержащих произведения одинаковых передаточных функций, получим выражение

,

совпадающее с выражением (2.5), полученным ранее путем последовательных структурных преобразований.