7.3.Точность автоматических систем

Автоматические системы можно с полным правом считать информационными системами и оценивать их с позиций точности передачи сигналов. При таком взгляде на автоматические системы вопрос о точности передачи сигналов переходит в вопрос о точности выполнения задания, то есть о точности выполнения условия . Ответ на этот вопрос дает вычисление ошибки регулирования.

Ошибки возникают по двум причинам: это ошибка при выполнении задания

, (7.7)

и ошибки, вызванные действием возмущающих факторов

. (7.8)

Результирующая ошибка системы равна сумме этих ошибок

. (7.9)

Так как во время переходного процесса ошибка изменяется во времени, то ее мгновенное значение не может служить мерой точности системы, поэтому условились точность автоматических систем оценивать величиной ошибки в установившемся режиме. Это записывается так

. (7.10)

Значение установившейся ошибки удобно вычислять по известной теореме операционного исчисления “о предельном переходе”. Согласно этой теоремы значение оригинала f() можно определить непосредственно по ее изображению F(p) по формуле

. (7.11)

Применяя эту формулу к (7.10) получим

, (7.12)

где , - изображения ошибок по заданию и возмущениям, и , - их передаточные функции.

Таким образом, из формулы (7.12) видно, что точность автоматических систем зависит не только от свойств самой системы, которые определяются передаточными функциями и , но и от формы внешних воздействий и .

В реальных условиях работы системы внешние воздействия могут иметь любую временную зависимость, часто случайного характера, в результате чего сделать аттестацию точности систем по реальным воздействиям практически невозможно. Как же выйти из этого положения Поступают следующим образом. Оценку точности автоматических систем производят по ее реакции на типовые воздействия и в качестве таковых используют следующие временные функции:

ступенчатая , ,

линейная , , (7.13)

квадратичная , .

7.4. Астатизм автоматических систем

Астатизм автоматической системы является важнейшим параметров характеризующим ее точность, при этом астатические свойства определяются значением установившейся ошибки.

Система называется астатической, если при постоянном задающем воздействии установившаяся ошибка равна нулю, в противном случае система называется статической.

Рассмотрим причины, вызывающие астатизм, его основные свойства и структурные признаки.

В первую очередь отметим следующие особенности астатизма:

1. Источником астатизма могут быть только интегрирующие звенья, передаточная функция которых, как известно, содержит в знаменателе оператор “p”

.

2. Астатическая реакция системы всегда связана с конкретным воздействием, то есть система, астатическая по отношению к одному воздействию, может не иметь его по отношению к другим воздействиям;

3. Появление астатической реакции зависит от двух факторов: от вида временной зависимости воздействия, и от точки его приложения в системе.

Последнее в частности означает, что присутствие в системе интегрирующих звеньев еще не гарантирует ей астатические свойства. Для того, чтобы интегрирующее звено стало источником астатизма, оно должно быть “правильно” включено в структуру системы. Но как распознать “правильное” расположение этих звеньев Ответ на этот вопрос дают структурные признаки астатизма, к рассмотрению которых мы приступаем.

Рассмотрим структурную схему изображенную на рис.7.5, а, в которой обозначено: задание, возмущение, регулируемая величина. В схеме также приняты следующие обозначения: передаточные функции, не содержащие интегрирующих и дифференцирующих звеньев; определяют количества интегрирующих звеньев.

Рис. 7.5.

Астатизм по отношению к заданию. Задание создает в системе ошибку

, (7.14)

передаточная функция которой, согласно рис. 7.5,б, определяется выражением

. (7.15)

Здесь полное число интегрирующих звеньев в системе; . Тогда по теореме “о предельном переходе” установившаяся ошибка будет равна

Рассмотрим влияние типовых воздействий на астатическую реакцию системы.

1. Задание - ступенчатая функция. Его изображение , и ошибка в этом случае равна

Рис.7.5

. (7.17)

Отсюда следуют следующие свойства:

1). При отсутствии интегрирующих звеньев ( ) система “статическая”, так как имеет установившуюся ошибку

.

2). При наличии хотя бы одного интегрирующего звена ( ) система становится астатической, поскольку

.

2. Задание - линейная функция. Его изображение , и

. (7.18)

При получаем , а при . Это означает, что при реакция системы на задание “статическая”, а при астатическая. Таким образом, при линейном изменении входного сигнала, для полной компенсации ошибки требуется не менее 2-х интегрирующих звеньев.

3. Задание - квадратичная функция. Его изображение , и

. (7.19)

Здесь результаты такие: при реакция статическая, так как , а при астатическая, так как . Это означает, что при квадратичном изменении задания для полной компенсации ошибки требуется не менее 3-х интегрирующих звеньев.

Общим свойством является то, что при всех видах задания астатическая реакция системы зависит только от числа интегрирующих звеньев , а место их установки в системе не имеет значения. Это следует из того, что во всех формулах ошибки (7.17), (7.18) и (7.19) в числителе присутствует сомножитель .

Астатизм по отношению к возмущению. Связь между возмущением и вызванной им ошибкой определяется по структурной схеме (рис. 7.5,в)

, (7.20)

где

.

Установившаяся ошибка по возмущению определяется по формуле

(7.21)

.

Проведем аналогичный анализ влияния типовых воздействий на астатизм системы.

1. Возмущение - ступенчатая функция. Ошибка равна

. (7.22)

При получаем , то есть реакция системы “статическая”, а при реакция “астатическая” - .

2. Возмущение - линейная функция. Ошибка равна

. (7.23)

При реакция статическая - , при реакция “астатическая” - .

3. Возмущение - квадратичная функция. Ошибка равна

. (7.24)

При реакция статическая - , при реакция астатическая - .

На основе результатов этого параграфа можно сформулировать следующие определения.

Структурный признак астатизма. Реакция системы на приложенное воздействие будет астатической, если в системе есть интегрирующие звенья, включенные до точки приложения этого воздействия.

Порядок астатизма по отношению к воздействию - определяется числом интегрирующих звеньев включенных до точки приложения этого воздействия.

Это означает, что по отношению к заданию порядок астатизма определяется числом , так как все интегрирующие звенья системы участвуют в его создании, по отношению к возмущению порядок астатизма определяется числом , так как в создании астатизма не участвуют интегрирующие звенья, расположенные на прямом пути от точки приложения воздействия до выхода.