6.5. Определение областей устойчивости. D – разбиение

Постановка задачи. Выше были рассмотрены принципы исследования системы на устойчивость при условии, что все ее параметры уже заданы. Но часто при проектировании и наладке автоматических систем предоставляется свобода в выборе некоторых ее параметров. При этом представляет интерес такая технология выбора параметров, при которой обеспечивался бы необходимый запас устойчивости. Эта задача решается посредством выделения областей устойчивости в плоскости выбираемых параметров. Поясним физический смысл этих областей.

Положим, что автоматическая система имеет характеристическое уравнение

. (6.10)

Д опустим сначала, что все коэффициенты, кроме одного, например, a₁, в этом уравнении заданы. Будем изменять этот коэффициент от 0 до ¥ и следить за расположением корней в комплексной плоскости. Каждое значение а₁ на рис. 6.5,а отметим точкой, причем жирную точку ставим, когда при данном a₁ корни расположены слева от мнимой оси (система устойчива) и обычную точку когда расположение корней соответствует неустойчивой системе. Понятно, что ось значений a₁ будет разбита на отрезки. Стыки этих отрезков есть границы устойчивости.

Положим теперь, что в уравнении (6.10) изменяются два коэффициента, например, и , а остальные остаются неизменными. Тогда вся плоскость будет разбита на области устойчивости и неустойчивости. (На рис.6.5,б области устойчивости заштрихованы.) Выделяя в уравнении (6.10) три, четыре или большее количество свободных коэффициентов, будем получать области устойчивости соответственно в виде объемного пространства или гиперпространств. Разбиение пространства коэффициентов на области устойчивости называется D-разбиением.

Обычно в практических задачах почти все параметры системы конструктивно заданы, и свобода выбора остается за одним или двумя параметрами. Поэтому задача выделения областей устойчивости практически сводится к построению границы в плоскости одного или двух параметров.

Алгоритм D-разбиений основан на использовании годографа Михайлова, который соответствует границе устойчивости, то есть годограф проходящий через начало координат.

D-разбиение по одному параметру. Представим характеристическое уравнение системы в виде

, (6.11)

где b - свободный параметр, а и – части характеристического уравнения, не содержащие параметр b. Заменим в этом уравнении р на jw и решим от-носительно b

. 6.12)

Кривая, построенная в системе координат Р(w), jQ(w) при различных значениях w, будет представлять границу D-разбиений. Область устойчивости находится слева от кривой, если двигаться по ней от значений к значению . Границу области устойчивости обычно отмечают штриховкой.

Так как параметр b является вещественным числом, то нас интересует отрезок только вещественной оси, попадающий в область устойчивости. Все значения параметра, определяемые координатами этого отрезка на оси абсцисс, окаймлённого штриховкой, будут соответствовать устойчивому состоянию системы.

Пример 6.1. Рассмотрим систему регулирования с характеристическим уравнением

_.

Решим характеристическое уравнение относительно b

и заменим в нем р на jw

_.

Изменяя w от -¥ до +¥, получим кривую, изображённую на рис. 6.6. Значение Q(w) обращается в нуль при и при , а Р(w) при этих значениям w, будут равны Р(0) = 0 и . Таким образом определили, что кривая отсекает на оси абсцисс отрезок (0 -1,5), определяющий диапазон изменения b при котором обеспечивается устойчивость системы.

D-разбиение по двум параметрам. Представим характеристическое уравнение системы в виде

, (6.13)

где  и  – свободные параметры системы. Заменим в уравнении р на jw и введем обозначения

(6.14)

Разделив (6.13) на вещественную и мнимую части, получим

.

Решение этих уравнений даст интересующие нас параметры

, , (6.15)

где .

Если D ни при каких значениях w не обращается в нуль, то в плоскости , получаем кривую, являющуюся границей области устойчивости. Если D при каком-либо значении w обращается в нуль, то это может соответствовать двум случаям:

1. при D=0 числители выражений (6.15) не обращаются в нули; в этом случае переход D через нуль может произойти только в бесконечно удалённой точке плоскости ,;

2. при D=0 числители выражений (6.15) также обращаются в нули; в этом случае получается соотношение

,

т.е. уравнения (6.15) отличаются друг от друга только постоянным множителем С, и одно уравнение является следствием другого. В этом случае для  и  получается бесконечная совокупность точек, лежащих на одной прямой:

Эта прямая, называется особой, она может пересекать границу области устойчивости или проходить через её начало. Точки особой прямой называются исключительными и в большинстве случаев соответствуют значениям w=0 и w=¥. Особая прямая, соответствующая обращению корня в нуль, определяется из условия равенства нулю свободного члена характеристического уравнения, а соответствующая обращению в бесконечность – при приравнивании к нулю коэффициента при старшей степени характеристического уравнения.

Правило штриховки. Для выделения области устойчивости граница D-разбиения штрихуется. Если D>0, то при изменении w от -¥ до +¥ штрихуется левая сторона кривой. Если D<0, штрихуется правая сторона. При изменении знака D с плюса на минус штриховка кривой меняется в тех точках, в которых она пересекает особые прямые. Значениям w и -w соответствует одна и та же точка на кривой, поэтому кривая штрихуется дважды с одной и той же стороны, так как D меняет знак при w=0. Особые прямые штрихуются так, чтобы вблизи точек пересечения их с основной кривой штриховка была направлена согласно со штриховкой основной кривой. Если при переходе через точку пересечения знак D изменяется, то направление штриховки особой прямой по обе стороны точки пересечения различны.