5.2. Примеры математических моделей элементов

В предыдущей главе приведены примеры составления моделей ряда простейших элементов. Здесь на нескольких примерах покажем технику составления более сложных математических моделей, а также обсудим методы их преобразований.

Математическая модель термопары. В равновесном состоянии, когда температура рабочего спая термопары равна температуре измеряемой среды , термоэлектродвижущая сила термопары Е определенна и неизменна.

Пусть в какой-то момент времени температура среды скачкообразно возросла на . Тогда за счет разности температур измеряемой среды и термопары последняя будет нагреваться до температуры среды, однако процесс нагрева рабочего спая будет проходить не мгновенно, а в течение времени, зависящего от объема и свойств металла спая. Воспользуемся уравнением теплопередачи конвекцией. Количество тепла, переданное от измеряемой среды рабочему спаю термопары за бесконечно малый отрезок времени, равно

, (5.2)

где – коэффициент теплоотдачи конвекцией; F – поверхность теплопередачи (рабочего спая). Количество тепла, полученное термопарой при нагреве на градусов, равно

, (5.3)

где m – масса металла рабочего спая; c – удельная теплоемкость металла спая. Так как всегда должно соблюдаться условие , то, приравнивая (5.2) и (5.3) получим

. (5.4)

Примем, что зависимость между термо э.д.с. и температурой рабочего спая линейная, то есть

, (5.5)

где k – коэффициент пропорциональности. Тогда подстановка из (5.5) в (5.4) даст

.

Подстановкой получаем стандартное уравнение звена

(5.6)

Уравнение (5.6) показывает, что при принятых допущениях, термопара является апериодическим звеном первого порядка, входная величина которого - температура измеряемой среды , выходная - термоэлектродвижущая сила Е, коэффициент k - коэффициентом передачи звена, а T - постоянной времени звена.

Математическая модель двигателя постоянного тока. Модель двигателя состоит из двух групп уравнений, одна группа описывает внутренние процессы в двигателе, а другая его связи с «внешним окружением». Составим модель ДПТ независимого возбуждения (рис. 5.1).

Уравнения внутренних процессов:

При отсутствии насыщения магнитный поток пропорционален току в обмотке возбуждения

. (5.7)

Э.д.с. вращения в якоря пропорциональна частоте вращения и потоку

. (5.8)

Движущий электромагнитный момент возникает при взаимодействии тока якоря с магнитным потоком

. (5.9)

В этих уравнениях постоянные коэффициенты учитывают конструктивные параметры машины, и их численные значения легко определяются по паспортным или экспериментальным данным.

Рис. 5.1. Расчетная схема двигателя постоянного тока независимого возбуждения

Уравнения внешних связей. Эти уравнения определены подключением двигателя к внешним объектам: обмотка якоря подключена к источнику напряжения u(t), обмотка возбуждения к источнику напряжения и вал двигателя к нагрузке (к рабочему механизму). Уравнения составляются из условий равновесия (или баланса):

уравнение напряжений для обмотки якоря

, (5.10)

уравнение напряжений для обмотки возбуждения

, (5.11)

уравнение моментов

, (5.12)

В этих уравнениях активные сопротивления и индуктивности цепей якоря и возбуждения; момент сопротивления нагрузки; момент механических потерь, определяемый коэффициентом трения Н; момент инерции вращающихся масс. Уравнение моментов составлено на основе второго закона Ньютона, который для вращающихся масс записывается в виде .

Таким образом, математической моделью двигателя постоянного тока независимого возбуждения является система дифференциально-алгебраических уравнений (5.7-5.12). И хотя в модели все элементы линейные (не учитывается насыщение магнитопровода) модель двигателя, тем не менее, нелинейная. Причиной нелинейности являются произведения переменных величин и в уравнениях (5.8) и (5.9).

Из теории машин постоянного тока известно несколько способов регулирования частоты вращения вала: 1) изменением напряжения якоря (якорное управление); 2) изменением напряжения возбуждения; 3) комбинированное регулирование; 4) изменением сопротивления цепи якоря. Конечно, все эти способы могут быть исследованы на общей модели двигателя полученной выше, но иногда выгоднее отказаться от общей модели и использовать ее более простые версии.

Модель ДПТ при якорном регулировании. Регулирование осуществляется изменением напряжения якоря u(t) при постоянных параметрах цепи возбуждения. Это условие позволяет исключить из модели уравнение для цепи возбуждения (5.11), в результате чего модель становится линейной

(5.13)

Такую модель можно записать как в операторной форме, так и в виде структурной схемы.

Операторную форму записи модели дает прямое преобразование Лапласа уравнений (5.13). Преобразование при нулевых начальных условиях приводит к следующей системе уравнений

(5.14)

.

Для представления модели в виде структурной схемы все уравнения в (5.14) должны представлять уравнения звеньев, то есть явно выраженную входную и выходную переменные.

С этой целью первое уравнение в (5.14) перепишем так

(5.15)

где - коэффициент передачи и - электромагнитная постоянная времени. В таком виде уравнение определяет звено с входным воздействием и выходным воздействием . Передаточная функция звена

. (5.16)

Объединив четвертое и пятое уравнения в (5.14), после преобразований получим

, (5.17)

где - коэффициент передачи и - механическая постоянная времени. Передаточная функция этого звена

. (5.18)

Второе и третье уравнения в (5.14) преобразований не требуют, так как они уже определяют звенья с передаточными функциями

, (5.19)

. (5.20)

Соединяя звенья между собой, получим модель двигателя в виде структурной схемы (рис. 5.2).

W4

Рис. 5.2. Структурная схема двигателя постоянного тока

независимого возбуждения с якорным управлением

Обе формы записи модели, как операторная, так и в виде структурной схемы, позволяют получать все динамические характеристики двигателя, например, , и т.д. Покажем процесс получения характеристики с использованием структурной схемы.

Динамика частоты вращения . В модели имеются два возмущающих воздействия - напряжение якоря и момент нагрузки на валу . Так как модель линейная, то реакцию двигателя на комбинированное воздействие определим суммированием отдельных реакций.

Реакция двигателя на изменение напряжения определяется передаточной функцией составленной относительно точек и при

, (5.21)

где - передаточная функция прямого пути прохождения сигнала, - передаточная функция разомкнутой схемы.

Реакция на изменение момента определяется передаточной функцией составленной относительно точек и при

, (5.22)

где - передаточная функция прямого пути прохождения сигнала.

Реакция двигателя на комбинированное действие обоих возмущений будет такой

. (5.23)

где

, (5.24)

. (5.25)

Здесь А(р) - характеристическое уравнение двигателя, которое определяется по формуле

(5.26)

или

, (5.27)

где , , .

Модель ДПТ при регулировании возбуждением. В этом случае регулирование осуществляется изменением напряжения обмотки возбуждения при неизменном напряжении якоря. Это позволяет в исходной модели двигателя переменную заменяется постоянным коэффициентом U и тогда модель запишется следующим образом

,

, (5.28)

.

Полученная модель двигателя осталась нелинейной, и методы ее решения определяются только характером задач.

Если предполагается исследовать динамику двигателя при глубоких изменениях режимов, таких, например, как, пуск, значительные изменения нагрузки и т.д., то для решения модели надо привлекать специальные математические методы.

Если динамика машины исследуется при малых изменениях в окрестности заданного рабочего режима, то модель можно линеаризовать и использовать ресурсы линейных моделей.

Проведем линеаризацию модели двигателя для режима определенного следующими параметрами . Запишем модель в приращениях переменных

,

, (5.29)

.

Теперь над уравнениями (5.29) проведем преобразование Лапласа, и для упрощения записи опустим символ и введем обозначения , , ,

(5.30)

.

Остальные преобразования, такие как построение структурной схемы, получение операторных характеристик двигателя предлагаем читателю провести самостоятельно.