Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
4 Конспект лекций.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
4.63 Mб
Скачать

5.2. Определение начальных условий

Под начальными условиями дина­мического процесса понимается его со­стояние в момент времени, принятый за начало процесса. Начальные усло­вия задаются совокупностью значений выходной координаты исследуемой си­стемы и некоторого числа ее производ­ных при .

Если уравнение динамики представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение n-ного по­рядка, то для его решения необходимо располагать начальными значениями выходной координаты и ее производ­ных по времени до (n-1)-го поряд­ка включительно. Начальные условия называются нулевыми, если начальные значения выходной координаты и ее производ­ных до (n-1)-го порядка включи­тельно все порознь равны нулю. Если хотя бы одно из началь­ных значений не равно нулю, началь­ные условия называются ненулевыми.

При исследовании процессов авто­матического регулирования часто ис­пользуются возмущения, представляю­щие скачкообразное изменение вход­ной координаты или ее производных. Это влечет за собой необходимость до­пущения скачков выходной координа­ты или ее производных в мо­мент приложения подобных возмущений. Начальные значения этих величин будут различными в зависимости от того, будем ли мы приближаться к справа или слева. Например, если ко входу механической системы с одной степенью свободы, находящейся в состоянии равновесия, в некоторый момент вре­мени приложить конечную силу то при приближении к началу процесса слева значения как выходной коорди­наты, так и ее производных будут ну­левыми. При приближении к справа уравнение системы для будет таким

(5.1)

где , и предельные значения этих величин для при приближении справа. Так как скорость и перемещение тела, обладающего массой, не могут изменяться скачком, то, следова­тельно, в начальный момент должны соблюдаться условия

, , .

В дальнейшем под начальными условиями процесса, описываемого обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка, будем пони­мать совокупность предельных значе­ний, к которым стремятся величины выходной координаты системы и ее производных до (n - 1)-го порядка включительно при приближении к на­чалу процесса (к t = 0) справа.

При описании сложной системы, имеющей дифференциальное уравнение высокого порядка, реко­мендуется сначала расчленить систему на звенья с одной сте­пенью свободы, а затем для каждого звена от­дельно определять начальные условия. Таким образом, правильное определение начальных условий требует глубокого понимания физического суще­ства задачи и тща­тельного анализа.

5.3. Способы записи математических моделей

Математическая модель физического объекта представляет собой систему соотношений между его внутренними и внешними параметрами. Для автоматических систем такими соотношениями обычно являются дифференциальные и алгебраические уравнения.

Процесс составления математической модели автоматической системы разбивается на два этапа. Cначала составляются математические модели элементов системы, а затем математическая модель всей системы. Дальнейшая работа с моделью определяется тем, какая это модель - линейная или нелинейная.

Нелинейная модель. Если модель нелинейная, то ее упрощения существенно ограничены. Работа с нелинейной моделью, с одной стороны, требует привлечения сложного математического аппарата, а с другой стороны, почти всегда исключает возможность глубоких обобщений. Это затрудняет качественный анализ системы, и поэтому когда это возможно, ее пытаются либо упростить структурно, либо упростить ее математическую формулировку, то есть линеаризовать. Если избавиться от нелинейности не удается, модель решают численными методами.

Линейная модель допускает широкий круг преобразований и может записываться в нескольких формах, основными из которых являются:

  1. Модель в виде единого уравнения. Приведение системы уравнений к одному уравнению основано на том, что у соединенных между собой элементов входные переменные одного элемента являются выходными переменными другого, и поэтому исключение промежуточных переменных позволяет такое преобразование проводить.

  2. Модель в операторной форме. Операторная форма получается после прямого интегрального преобразования Лапласа исходных уравнений. В зависимости от того, какой режим системы исследуется, эти преобразования могут осуществляться как при нулевых, так и при ненулевых начальных условиях.

  3. Модель в виде структурных схем или графов. Структурные схемы или графы модели составляются на основе ее операторных уравнений.

  4. Модель в виде передаточных функций. Передаточные функции модели определяются как на основе операторной формы, так и на основе структурных схем или графов.