Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
4 Конспект лекций.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
4.63 Mб
Скачать

4.3.3. Инерционное звено второго порядка

Уравнение динамики звена

, (4.20)

где Т –постоянная времени, коэффициент демпфирования, коэффициент передачи звена.

Операторное уравнение и передаточная функция звена следующие:

, (4.21)

. (4.22)

Отличительной чертой этого звена является возможность существования трех видов переходных характеристик, что определяется корнями его характеристического уравнения . Корни этого уравнения

(4.23)

могут быть вещественными, комплексными или чисто мнимыми, определяя в каждом случае свой переходный процесс. При этом обычно говорят о трех типах звеньев.

Апериодическое звено второго порядка. При корни вещественные, и переходная функция определяется формулой

. (4.24)

Переходный процесс имеет апериодический характер, протекающий без колебаний (рис. 4.6,а). Можно показать, что в этом режиме звено эквивалентно последовательному соединению двух апериодических звеньев первого порядка с постоянными времени T1, T2 и коэффициентами передачи k1, k2 . Поэтому передаточная функция звена может быть записана также в виде

.

Колебательное звено. При 1 корни характеристического уравнения комплексные

,

где коэффициент затухания, а угловая частота свободных колебаний. Переходная характеристика колебательного звена определяется уравнением

,

где и - соответственно амплитуда, и фаза свободных колебаний. Переходный процесс показан на рис. 4.6,б.

Консервативное звено. При корни становятся чисто мнимыми

, (4.27)

и звено представляет собой идеализированный случай звена без потерь. Переходный процесс носит незатухающий колебательный характер (рис.4.6, в).

Рис. 4.6. Переходные функции инерционных звеньев второго порядка

Примеры. К инерционным звеньям второго порядка относятся элементы, способные запасать потенциальную и кинетическую энергию и преобразовывать их одну в другую. Такими возможностями обладают: электрические R-L-С контуры; электромеханические устройства, например, двигатели, у которых кинетическая энергия запасается в якоре, а электромагнитная (потенциальная) в якорной цепи; механические элементы, обладающие массой, упругостью и вязким трением и т. д.

Пример 4.2. Для R-L-C контура справедливо уравнение

.

Используя известные формулы: , , , получим

.

Это уравнение инерционного звена второго порядка, в котором , .

4.3.4. Интегрирующие звенья

Интегрирующим называется звено, в котором производится интегрирование входного воздействия, и поэтому в выходном воздействии обязательно присутствует интеграл .

Идеальное интегрирующее звено. Уравнение динамики звена в дифференциальной и интегральной формах имеют вид

, (4.28)

. (4.29)

Операторное уравнение и передаточная функция определяются выражениями

, (4.30)

. (4.31)

Переходную характеристику легко получить из уравнения (4.29), если учесть, что при ступенчатом входном сигнале и его можно вынести за знак интеграла. Это дает выражение

. (4.32)

График переходной характеристики приведен на рис. 4.7,а.

Интегрирующее звено с замедлением. Звено описывается дифференциальным уравнением

, (4.33)

и имеет передаточную функцию

. (4.34)

Отметим, что эту передаточную функцию можно записать еще так

, (4.35)

что позволяет представить это звено, состоящим из параллельно соединенных звеньев идеального интегрирующего звена и апериодического звена первого порядка. Как показано на рис. 4.7,б, переходная функция звена представляется суммой переходных функций двух звеньев и определяется выражением

. (4.36)

Изодромное звено. Уравнение звена и его передаточная функция

(4.37)

. (4.38)

По виду передаточной функции можно сделать вывод, что изодромное звено составлено из параллельно включенных звеньев - идеального интегрирующего и безынерционного. Переходная функция звена определяется уравнением

(4.39)

и график ее показан на рис. 4.7, в.

Рис. 4.7. Переходные функции интегрирующих звеньев

Пример 4.3. Идеальным интегрирующим звеном можно считать двигатель постоянного тока в режиме холостого хода. Для цепи якоря справедливо уравнение

.

Если пренебречь потерями напряжений , и учесть, что , где -угол поворота вала, получим . Интегрирование этого уравнения дает уравнение идеального интегрирующего звена, в котором ,

.

Пример 4.4. Многие математические операции эффективно выполняются электронными схемами на основе операционных усилителей. Пример такой схемы дан на рис. 4.8,б.

Для этих усилителей характерно три свойства: 1) усилитель имеет исключительно большой коэффициент усиления ; 2) ток, проходящий через усилитель настолько мал, что при составлении баланса токов им можно пренебречь; 3) потенциал в узле “а” можно принять равным нулю так как , потому что . Покажем, что при данных допущениях, схема на рис. 4.8,б является идеальным интегрирующим звеном. Запишем для точки “а” уравнение баланса токов

,

принимая и интегрируя это уравнение, получим

.

Рис. 4.8. Примеры интегрирующих звеньев