^№2 Число А называется пределом функции у = f(х) при х, стремящимся к х₀, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа e, найдется такое положительное число d ( зависящее от e), что для всех х , не равных х₀ и удовлетворяющих условию

| х- х₀ | < d,

верно неравенство:

| f(x)– А | < e

Этот предел функции обозначается:

Число А называется пределом функции у = f (х) при х, стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа e, найдется такое положительное число S ( зависящее от e), что для всех х таких, что |х| > S, верно

неравенство: |f(x)–А|<e|

Этот предел функции обозначается:

• №3 Теорема 1. Функция не может иметь более одного предела.

• Теорема 2. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, т.е.

• Теорема 3. Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, т.е

• .

• Следствие.1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

• Следствие 2. Предел степени равен степени предела, т.е.

• Теорема 4. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, при условии, что предел делителя не равен нулю, т.е.

№4

• Определение 1. Функция ¦(х) называется непрерывной в точке х₀, если она удовлетворяет следующим трем условиям:

• 1) определена в точке х₀ (т.е. существует ¦(х₀));

• 2) имеет конечный предел функции при х ® х₀;

• 3) этот предел равен значению функции в этой точке , т.е.

• Определение 2. Функция у =¦(х) называется непрерывной в точке х₀, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:

• Теорема. Сумма, разность, произведение и частное двух функций непрерывных в одной и той же точке а, есть функция непрерывная в той же точке, причем в случае частного предполагается, что функция делитель не обращается в нуль при х = а. (Теорема остается верной для суммы и произведения любого конечного числа функций).

• Функция у = ¦(х) называется непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

• Доказано, что все элементарные функции непрерывны в области их определения.

№5

• Точка х₀, в которой функция ¦(х) не является непрерывной называется точкой разрыва.

• Точка х₀ называется точкой разрыва первого рода, если существуют конечные односторонние пределы функции слева или справа при х ® х₀, не равные друг другу, либо если они равны между собой, но не равны значению функции в точке х₀.

• Обозначим

• а) , в этом случае функция имеет скачок

• б) ,но не равно значению функции в точке х₀ , имеем устранимый разрыв. Точка х₀ называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов слева или справа равен бесконечности или не существует.

№6

• Производной функции у = ¦(х) называется предел отношения приращения функции Dу к приращению аргумента Dх при стремлении Dх к нулю.

• Если функция в точке х₀ имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке.

• Функция дифференцируемая во всех точках промежутка Х, называется дифференцируемой на этом промежутке.

№7

• Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке функция y=f(x) достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке x₀ этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, т.е. f′(x₀)=0.

• Теорема Ролля. Пусть функция y=f(x) удовлетворяет следующим условиям:

непрерывна на [a,b];

дифференцируема на [a,b];

на концах отрезка принимает равные значения, т.е. f(a)= f(b).

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка

ε ( a,b), в которой производная равна нулю (f′(ε)=0).

• Теорема Лагранжа. Пусть функция y=f(x) удовлетворяет следующим условиям:

непрерывна на [a,b];

дифференцируема на [a,b].

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка

С( a,b), в которой производная равна частному от деления приращения функции к приращению аргумента на этом отрезке, т.е.

8. Непрерывность функции нескольких переменных.

Определение: Пусть точка М₀(х₀, у₀) принадлежит области определения функции f(x, y). Тогда функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке М₀(х₀, у₀), если

(1)

причем точка М(х, у) стремится к точке М₀(х₀, у₀) произвольным образом.

Если в какой – либо точке условие (1) не выполняется, то эта точка называется точкой разрыва функции f(x, y). Это может быть в следующих случаях:

1. Функция z = f(x, y) не определена в точке М₀(х₀, у₀).

2. Не существует предел .

3. Этот предел существует, но он не равен f( x₀, y₀).

Свойства функций нескольких переменных, связанные

с их непрерывностью.

Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой и

ограниченной области D, то в этой области найдется по крайней мере одна точка

N(x₀, y₀, …), такая, что для остальных точек верно неравенство

f(x₀, y₀, …)  f(x, y, …)

а также точка N₁(x₀₁, y₀₁, …), такая, что для всех остальных точек верно неравенство

f(x₀₁, y₀₁, …)  f(x, y, …)

тогда f(x₀, y₀, …) = M – наибольшее значение функции, а f(x₀₁, y₀₁, …) = m – наименьшее значение функции f(x, y, …) в области D.

Непрерывная функция в замкнутой и ограниченной области D достигает по крайней мере один раз наибольшего значения и один раз наименьшего.

Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D, а M и m – соответственно наибольшее и наименьшее значения функции в этой области, то для любой точки   [m, M] существует точка

N₀(x₀, y₀, …) такая, что f(x₀, y₀, …) = .

Проще говоря, непрерывная функция принимает в области D все промежуточные значения между M и m. Следствием этого свойства может служить заключение, что если числа M и m разных знаков, то в области D функция по крайней мере один раз обращается в ноль.

Свойство. Функция f(x, y, …), непрерывная в замкнутой ограниченной области D, ограничена в этой области, если существует такое число К, что для всех точек области верно неравенство .

Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D, то она равномерно непрерывна в этой области, т.е. для любого положительного числа  существует такое число  > 0, что для любых двух точек (х₁, y₁) и (х₂, у₂) области, находящихся на расстоянии, меньшем , выполнено неравенство

Приведенные выше свойства аналогичны свойствам функций одной переменной, непрерывных на отрезке. См. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

9. Производные функций нескольких переменных.

Частная производная функция нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения частного приращения функции, приращению рассматриваемой независимой переменно, когда приращение стремится к нулю. Пусть   – множество упорядоченных пар действительных чисел  . Определение 1. Если каждой упорядоченной паре чисел   по некоторому закону   поставлено в соответствие единственное действительное число  , то говорят, что задана функция двух переменных   или  . Числа   называются при этом независимыми переменными или аргументами функции, а число   – зависимой переменной. Например, формула  , выражающая объем цилиндра, является функцией двух переменных:   – радиуса основания и   – высоты. Пару чисел   иногда называют точкой  , а функцию двух переменных – функцией точки  . Значение функции   в точке   обозначают   или   и называют частным значением функции двух переменных. Совокупность всех точек  , в которых определена функция  , называется областью определения этой функции. Для функции двух переменных область определения представляет собой всю координатную плоскость или ее часть, ограниченную одной или несколькими линиями. Например, область определения функции   – вся плоскость, а функции   – единичный круг с центром в начале координат (  или  .

10 Определение: Полным дифференциалом функции z = f(x, y) называется главная линейная относительно х и у приращения функции z в точке (х, у).

Для функции произвольного числа переменных:

Дифференциалом дифференцируемой в точке М(x₁,x₂,...,x_п) функции Z=f (x₁,x₂,...,x_п)

называется главная линейная относительно приращений аргументов часть приращения этой функции в точке М . Если все коэффициенты А в приращении функции в точке

независимой переменной можно понимать любое число. Договоримся в дальнейшем брать это число равным приращению независимой переменной .

11. поиск экстремума функции одной переменной.

1. 1.Найти производную функции

2. 2.Приравнять эту производную к нулю и решить уравнение. Корни этого уравнения будут критическими точками.

3. 3.Определить характер каждого критического значения аргумента, для этого, выясним меняет ли знак производная при переходе аргумента через данное критическое значение. Если меняется то критическая точка является экстремума, если нет, то у этой точки нет мах и мин.