Алгоритм нахождения точек экстремума функции с помощью второй производной

1. Найдем область определения функции D(y)

2. Вычислим производную функции f(x)

3. Найдем критические точки функции х₀, решая уравнение f(x) = 0

4. Вычислим вторую производную функции f (x)

5. Определим знак второй производной в каждой критической точке

и, пользуясь правилом, укажем тип экстремума в данной точке

6. Запишем ответ.

ПРИМЕР1. Найдите точки экстремума функции f (x) = х ³ – 3х +2

РЕШЕНИЕ. 1) D(y) = R

2) f  (x) = 3х ² – 3

3) 3х ² – 3 = 0, разделим обе части уравнения на 3: х ² – 1 = 0,

разложим разность квадратов на множители: (х – 1)(х + 1) = 0, тогда

х – 1 = 0 или х + 1 =0, решая эти уравнения, находим два корня: х₁ = 1, х₂ = - 1

4) Вычислим вторую производную, находя производную от f  (x):

f  (x) = (f  (x))  = (3х ² – 3)  = 6х – 0 = 6х

5) f  (-1) = 6  (-1) = -6 < 0, следовательно, х = - 1 – максимум функции

f  (1) = 6  1 = 6 > 0, следовательно, х = 1 – минимум функции

5) Ответ: х = - 1 – max; x = 1 – min.

ПРИМЕР2. Найдите точки экстремума функции f (x) = 6х² - х ³ + 2

РЕШЕНИЕ. 1) D(y) = R

2)f  (x) = 12х - 3х ²

3) 12х - 3х ² = 0, вынесем за скобки общий множитель 3х  (4 – х) = 0, тогда

3х = 0 или 4 – х = 0, х₁ = 0, х₂ = 4

4) f  (x) = (12х - 3х ²)  = 12 - 6х

5) f  (0) = 12 - 6  0 = 12 > 0, следовательно, х = -1 –минимум функции

f  (4) = 12 - 6  4 = 6 < 0, следовательно, х = 1 – максимум функции

6) Ответ: х = 1 – max; x = 4 – min.

3.Промежутки выпуклости.

На рисунках 3 и 4 представлены графики функций с различным направлением выпуклости кривой. Так на рис.3 кривая выпукла вниз, а на рис.4 кривая выпукла вверх.

Можно дать следующие определения:

кривая у = f (x) называется выпуклой вниз на промежутке (a; b), если она лежит выше касательной к кривой, проведенной в любой точке этого промежутка (рис.3);

кривая у = f (x) называется выпуклой вверх на промежутке (a; b), если она лежит ниже касательной к кривой, проведенной в любой точке этого промежутка (рис.4).

Рисунок 3 Рисунок 4

Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз,

называются промежутками выпуклости графика функции.

Выпуклость кривой, являющейся графиком функции у = f (x), характеризуется знаком ее второй производной.

Признаки направления выпуклости кривой:

Если на данном промежутке выполняется условие f ′′ (х) > 0, то кривая на этом промежутке выпукла вниз.

Если на данном промежутке выполняется условие f ′′ (х) < 0, то кривая на этом промежутке выпукла вверх.

Алгоритм нахождения промежутков выпуклости функции с помощью второй производной

1. Найдем область определения функции D(y)

2. Вычислим производную функции f(x)

3. Вычислим вторую производную функции f (x)

4. Решим неравенство f (x)  0 (или f (x)  0)

5. Пользуясь признаками, определим интервалы выпуклости кривой вверх и вниз.

6. Запишем ответ.

ПРИМЕР1. Найдите промежутками выпуклости функции f (x) = х ³ – 3х +7

РЕШЕНИЕ. 1) f  (x) = 3х ² – 3

2) Вычислим вторую производную, находя производную от f  (x):

f  (x) = (f  (x))  = (3х ² – 3)  = 6х – 0 = 6х

3) Решим неравенство f (x)  0: 6х  0, х  0, т.е. на промежутке (0; ) кривая выпукла вниз. И, наоборот, при х < 0 кривая выпукла вверх, т.к. вторая производная меньше нуля.

4) Ответ: при х  (0; ) кривая выпукла вниз; при х  (- ; 0) кривая выпукла вверх

ПРИМЕР2. Найдите промежутками выпуклости функции f (x) = х² - х ³ + 1

РЕШЕНИЕ. 1) f  (x) = 2х - х ²

2) f  (x) = (2х - х ²)  = 2 – 2х

3) f (x)  0: 2 – 2х  0, -2х  -2, х < 1 , т.е. на промежутке (- ; 1) кривая выпукла вниз. При х  1 кривая выпукла вверх, т.к. f (x) < 0

4) Ответ: при х  (1; ) кривая выпукла вверх; при х  (1; ) кривая выпукла вверх