В курсах символической логики излагается парадокс Рассела и, ес­тественно, приводится эта его шуточная формулировка. Спрашиваю как-то на экзамене у студента:

Ну-с, расскажите мне о парадоксе, обнаруженном Расселом в теории множеств!

—Была деревня, — запинаясь, начинает он, — и в деревне жил брадобрей. Они там все время брились — и сами, и у брадобрея....

—Ну ладно, ладно, — тороплю я его, так в чем же парадокс?

—А в том, — после некоторого размышления произносит студент, — что все ходили небритые!

Занавес!..

ЛЕКЦИЯ V. СЛОЖНЫЕ СУЖДЕНИЯ

Во времена Л.И. Брежнева в составе Политбюро ЦК КПСС было много престарелых членов. От тех времен до нас дошел следующий анекдот:

Встречаются как-то в коридоре Брежнев с Пельше и последний спраши­вает: «Скажи, Леонид Ильич, кто это такой — сын моего отца, но мне не брат?» — «М... м..., это я». — «Да нет, Леонид Ильич, это я!» — говорит Пельше. Заходит после этого Брежнев в кабинет к Суслову: «Скажи, Михал Андреич, кто это такой — сын моего отца, но мне не брат?» — «Да это же вы сами, Леонид Ильич!» — отвечает Суслов. — «Ну да, и я так подумал, а вот Пельше говорит, что это он!?

А вы сможете ответить на этот вопрос?

V.L. Логические связки

Сложным называется суждение, содержащее логические связки и состоящее из нескольких простых суждений.

В дальнейшем простые суждения мы будем рассматривать как не­кие неразложимые атомы, как элементы, из соединения которых воз­никают сложные структуры. Простые суждения будем обозначать от­дельными латинским буквами: а, Ь, с, d,... Каждая такая буква пред­ставляет некоторое простое суждение. Откуда это видно? Отвлекаясь от сложной внутренней структуры простого суждения, от его количе­ства и качества, забыв о том, что в нем имеется субъект и предикат, мы удерживаем лишь одно свойство суждения — то, что оно может быть истинным или ложным. Все остальное нас здесь не интересует. И когда я говорю, что буква «а» представляет суждение, а не поня­тие, не число, не функцию, я имею в виду только одно: это «а» представляет истину или ложь. Если под «а» я подразумеваю сужде­ние «Кенгуру живут в Австралии» — я подразумеваю истину; если же под «а» я подразумеваю суждение «Кенгуру- живут в Сибири» — я подразумеваю ложь. Таким образом, наши буквы «а», «6», «с» и т.

д. — это переменные, вместо которых могут подставляться истина или ложь.

Увы, приступая к рассмотрению сложных суждений, мы вынужде­ны вторгнуться в область символической логики и хотя бы немного познакомиться с ее формальным языком. Я понимаю, что человеку с гуманитарными склонностями вид всех этих символов, крючков и за­корючек отвратителен и даже внушает некоторый страх. Не бойтесь! На самом деле, все это — весьма простые вещи, и как только вы это почувствуете (а вы обязательно это почувствуете!), сразу же исчезнут и отвращение и страх.

Логические связки представляют собой формальные аналоги сою­зов нашего родного естественного языка. Как сложные предложения строятся из простых с помощью союзов «однако», «так как», «или» и т. п., так и сложные суждения образуются из простых с помощью ло­гических связок. Здесь ощущается гораздо большая связь логики с языком, поэтому в дальнейшем мы вместо слова «суждение», обозна­чающего чистую мысль, будем использовать слово «высказывание», обозначающее мысль в ее языковом выражении. Итак, давайте позна­комимся с наиболее употребительными логическими связками и их символическими обозначениями.

V.I.I. Отрицание^ В естественном языке ему соответствует выра­жение «неверно, что...». Эта связка называется унарной, поскольку применяется к одному простому (или сложному) высказыванию. Ос­тальные связки, которые мы будем рассматривать, называются бинар­ными, т. к. они соединяют два простых (или сложных) высказывания. Отрицание обычно, обозначается знаком «-i» или чертой _над буквой, представляющей простое суждение, т. е. «-i я» или « а». Пример: «Неверно, что Земля — шар». — Здесь простое суждение «Земля — шар», обозначим его буквой «а», подвергается отрицанию: «неверно, что а», или «-i а».

Следует обратить внимание на одно тонкое обстоятельство. Выше мы говорили о простых отрицательных суждениях. Как их отличить от сложных суждений с отрицанием? Логика различает два вида от­рицания — внутреннее и внешнее. Когда отрицание стоит внутри су­ждения, перед связкой «есть», то в этом случае мы имеем дело с про­стым отрицательным суждением, например: «Земля не шар». Если же отрицание внешним образом присоединяется к суждению, например: «Неверно, что Земля шар», то такое отрицание рассматривается как логическая связка, преобразующая простое суждение в сложное. Имейте в виду различие между этими двумя видами отрицания.

V.l.2. Конъюнкция. В естественном языке ей соответствуют союзы «и», «а», «но», «да», «однако», «хотя» и т. п. Чаще всего конъюнкция обозначается символом «&». Постарайтесь научиться изображать этот символ, тем более что в последнее время мы стали часто встречать его в названиях иностранных фирм, корпораций, товаров. Если вы уже начали баловаться курением, то вам могут быть знакомы сигаре­ты «L&M» («ласковый май», как иногда их называют), в название которых входит этот символ. Суждение с такой связкой называется

конъюнктивным, или просто конъюнк­цией, и выглядит следующим обра­зом: а & Ь. Пример: «В корзине у Нелли лежали подберезовики и мас­лята». — Это сложное суждение представляет собой конъюнкцию двух простых суждений: «В корзине у Нелли лежали подберезовики» и «В корзине у Нелли лежали маслята».

V.I.3. Дизъюнкция. В естествен­ном языке этой связке соответствует союз «или». Обычно она обозначает­ся знаком «V». Суждение с такой связкой называется дизъюнктивным, или просто дизъюнкцией, и выглядит следующим образом: a v Ь.

Союз «или» в естественном языке может употребляться в двух разных смыслах: нестрогое «или» — когда члены дизъюнкции не исключают друг друга, т. е. могут быть одновре­менно истинными, и строгое «или»

(часто заменяется союзом «либо..., либо...») — когда члены дизъюнк­ции исключают друг друга. В соответствии с этим различают два ви­да дизъюнкции: нестрогая — обозначается обычным знаком «v», и строгая — обозначается тем же знаком, но с точкой «v». Например, суждение «У данного больного растяжение связок или ушиб» пред­ставляет собой нестрогую дизъюнкцию, так как вполне возможно, что больной растянул связки и одновременно получил ушиб, поэтому его формальный вид будет таким: a v Ь. А вот в суждении «Пациент ли­бо жив, либо мертв» альтернативы исключают друг друга, поэтому здесь используется строгая дизъюнкция, и формальное представление данного суждения будет иметь вид: a v Ъ.