6. Найти пределы функций:

а) б)

а) . Многочлен в числителе раскладываем на множители, один из которых равен (x - 2), а числитель и знаменатель умножим на сопряженное знаменателю выражение

б) Разделим числитель и знаменатель основания на x:

Используем 2-й замечательный предел.

Обозначим , откуда причем при x → ∞ имеем α → 0.

Тогда

7. Найти производные функций:

а) б)

в) г)

а) При нахождении производной применим теоремы:

- о производной сложной функции: f’(φ(x)) = f’(u) · φ’(x), где u = φ(x);

- о производной степенной функции: (xⁿ)’ = nx^n-1;

- о производной от алгебраической суммы функций: (u + v)’ = u’ + v’;

- о выносе постоянной величины за знак производной: (c · f (x))’ = c · f’(x);

- о производной от постоянной величины: (c)’ = 0.

б) При нахождении производной применим теоремы о производной от сложной функции и о производной от показательной функции (a^x)' = a^x · lna.

в) При нахождении производной применим теоремы:

о производной от произведения функций (u · v)’ = u’ · v + u · v’,

о производной от косинуса: (cosx)’ = -sinx;

о производной от натурального логарифма:

о производной от сложной функции: f’(φ(x)) = f’(u) · φ’(x), где u = φ(x).

г) При нахождении производной применим теоремы о производной от сложной функции и о производной от частного функций: .

8. Найти интегралы и в пункте а) результат проверить дифференцированием:

а) б)

а) При нахождении интеграла воспользуемся формулой интегрирования степенной функции: .

Результат проверяем дифференцированием: dy = y’dx.

б) Введем подстановку:

Введем замену: z = 5t - 2, тогда dz = z’dt = (5t - 2)’dt = 5dt. Отсюда .

9. В ящике находятся 6 одинаковых пар перчаток черного цвета и 4 одинаковых пары перчаток белого цвета. Найти вероятность того, что две наудачу извлеченные перчатки образуют пару одного цвета.

Решение. Рассмотрим событие A - две извлеченные наудачу перчатки образуют пару; и гипотезы: B₁ - извлечена пара перчаток черного цвета, B₂ - извлечена пара перчаток белого цвета, B₃ - извлеченные перчатки пару не образуют.

Вероятность гипотезы B₁ по теореме умножения равна произведению вероятностей того, что первая перчатка будет черного цвета (P_1чер.) и вторая перчатка будет тоже черного цвета (P_2чер.), т.е.

Аналогично, вероятность гипотезы B₂ равна:

Так как гипотезы B₁, B₂, B₃ составляют полную группу событий, то вероятность гипотезы B₃ равна:

По формуле полной вероятности имеем:

где - условная вероятность того, что пару образуют две черные перчатки, и ;

- условная вероятность того, что пару образуют две белые перчатки, и ;

- условная вероятность того, что пару образуют перчатки разного цвета, и

.

Подставляем в формулу полной вероятности:

Ответ: вероятность того, что две наудачу извлеченные перчатки образуют пару, равна

10. В урне находятся 3 шара белого цвета и 5 шаров черного цвета. Наудачу по одному извлекаются 3 шара и после каждого извлечения возвращаются в урну. Найти вероятность того, что среди извлеченных шаров окажется:

а) ровно два белых шара;

б) не менее двух белых шаров.

Решение. Имеем схему с возвращением, т.е. каждый раз состав шаров не изменяется.

а) При извлечении трех шаров два из них должны быть белыми, а один - черным. При этом черный шар может оказаться или первым, или вторым, или третьим. Применяя совместно теоремы сложения и умножения вероятностей, имеем:

P(2 белых и 1 черный) = P_1ч · P_2б · P_3б + P_1б · P_2ч · P_3б + P_1б · P_2б · P_3ч =

б) Событие, заключающееся в том, что среди трех извлеченных шаров белых шаров будет не менее двух, означает, что белых шаров должно быть или два, или три. Тогда:

P(не менее 2 белых) = P(2 белых) + P(3 белых) =

11. Закон распределения дискретной случайной величины x имеет вид:

xi	-2	-1	0	3	5
pi	0,2	0,1	0,2	p4	p5

а) Найти вероятности p₄, p₅ и дисперсию D(X), если математическое ожидание M(X) = 1,5.

б) Построить интегральную функцию распределения случайной величины x.

Решение.

а) Из условия имеем 0,2 + 0,1 + 0,2 + p₄ + p₅ = 1 или p₄ + p₅ = 0,5.

Из определения математического ожидания получим:

-2 · 0,2 - 1 · 0,1 + 0 · 0,2 + 3 · p₄ + 5 · p₅ = 1,5 или 3p₄ + 5p₅ = 2.

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными p₄ и p₅:

.

Решая систему, получим p₄ = 0,25 и p₅ = 0,25.

Дисперсию находим из формулы: .

Находим математическое ожидание квадрата случайной величины M(x²) = :

M(x²) = (-2)² · 0,2 + (-1)² · 0,1 + 0 · 0,2 + 3² · 0,25 + 5² · 0,25 = 9,4.

Тогда .

б) Интегральной функцией распределения называется функция F(x), определяющая для каждого значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее x, т.е. F(x) = P(X < x), где x - некоторая текущая переменная.

Для построения интегральной функции распределения F(x) используем таблицу с рядом распределения случайной величины X:

xi	-2	-1	0	3	5
pi	0,2	0,1	0,2	0,25	0,25

Получим значения F(x):

Если x ≤ -2, то F(x) = P(X < x) = 0;

Если -2 < x ≤ -1, то F(x) = P(X < x) = 0 + 0,2 = 0,2;

Если -1 < x ≤ 0, то F(x) = P(X < x) = 0,2 + 0,1 = 0,3;

Если 0 < x ≤ 3, то F(x) = P(X < x) = 0,3 + 0,2 = 0,5;

Если 3 < x ≤ 5, то F(x) = P(X < x) = 0,5 + 0,25 = 0,75;

Если x > 5, то F(x) = P(X < x) = 0,75 + 0,25 = 1,0.

12. Случайная величина x имеет нормальное распределение. Найти вероятность попадания этой случайной величины в интервал P(2 < X < 6), если ее математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение равны 4.

Решение. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал определяется по формуле:

Здесь a = M(x) = 4 - математическое ожидание, σ = 4 - среднеквадратическое отклонение.

Тогда при α = 2, β = 6 получим:

Здесь функция Ф(x) = - это функция Лапласа, значения которой определяются по таблице этой функции, представленной в приложениях всех учебников по теории вероятностей и математической статистике.