9.3. Екстремум функції двох змінних

Точку називають точкою максимуму функції , якщо існує такий окіл цієї точки, що для всіх точок з цього околу виконується нерівність

. (9.1)

Точку називають точкою мінімуму функції , якщо існує такий окіл цієї точки, що для всіх точок з цього околу виконується нерівність

. (9.2)

Значення функції в точці максимуму або в точці мінімуму називають екстремумом функції.

Зауваження.

Екстремум в даному випадку носить локальний характер, оскільки розглядається максимальне і мінімальне значення в достатньо малому околі точки .

Теорема 9.2.

(необхідна умова екстремуму)

Якщо функція має в точці екстремум, існують частинні похідні і , то вони дорівнюють нулю:

, . (9.3)

Точки, в яких частинні похідні дорівнюють нулю або не існують, називають критичними.

Теорема 9.3.

(достатні умови екстремуму)

Нехай функція має неперервні частинні похідні , , , , і точка є критичною точкою, яка лежить усередині області визначення функції.

Позначимо

, , ,

.

Тоді якщо , то в точці екстремуму нема.

Якщо , то для розв’язання питання про наявність екстремуму необхідно подальше дослідження.

Якщо , то в точці при функція має максимум, а при – мінімум.

1)

Знайти частинні похідні і функції .

2)

Знайти критичні точки функції , в яких частинні похідні або не існують.

3)

Знайти частинні похідні другого порядку, обчислити їх значення в кожній критичній точці функції.

4)

За допомогою достатньої умови екстремуму зробити висновок про наявність екстремумів.

5)

Знайти екстремуми функції.

Приклад 9.3.

Дослідити функцію на екстремум.

1)

Знайдемо частинні похідні першого порядку:

.

2)

З умов (9.3) випливає існування однієї критичної точки: .

3)

Обчислимо похідні другого порядку в точці :

4)

Оскільки і , то в точці функція має мінімум. За допомогою достатньої умови екстремуму зробити висновок про наявність екстремумів.

5)

Знайдемо екстремум функції: .

Приклад 9.4.

Дослідити функцію на екстремум.

1)

Знайдемо частинні похідні першого порядку:

2)

Прирівняємо знайдені частині похідні до нуля і знайдемо критичні точки функції:

Отримуємо три критичні точки: , , .

3)

Знайдемо частині похідні другого порядку:

, ,

Обчислимо їх значення в кожній критичній точці функції:

, , ;

, , ;

, ,

4)

Розрахуємо величину

де , , .

Для точки величина , а для точок і величина . Тому за допомогою достатньої умови екстремуму можна зробити висновок, що в точці екстремум відсутній, а в точках і функція має екстремум, а саме мінімум.

5)

Знайдемо екстремуми функції:

.