9. Застосування похідної для знаходження границь та екстремальних значень функцій однієї та багатьох змінних

Теорема 9.1.

(правило Лопіталя)

Якщо функції і є одночасно нескінченно малими або нескінченно великими при , диференційованими в деякому околі точки і в цьому околі, виключаючи, може бути, саму точку , тоді

.

Приклад 9.1.

Знайти за правилом Лопіталя наступні границі:

а) ; б) .

Зауваження.

Слід мати на увазі, якщо на відрізку функція має лише одну критичну точку, то саме в цій точці функція досягає найбільшого значення (якщо – точка максимуму) і найменшого значення (якщо – точка мінімуму).

1)

Знайти похідну функції .

2)

Знайти критичні точки першого роду функції , в яких похідна або не існує.

3)

Знайти значення функції в критичних точках і на кінцях відрізку.

4)

Обрати найбільше і найменше значення функції.

Приклад 9.2.

Знайти найбільше і найменше значення функції на відрізку .

1)

Знайдемо похідну функції: .

2)

Знайдемо критичні точки: в точці похідна , в точці похідна не існує. Значить, – критична точка, яка належить відрізку .

3)

Знайдемо значення функції в критичних точках і на кінцях відрізку:

, .

4)

Виберемо найбільше і найменше значення функції:

, .