8.3. Схема повного дослідження функції однієї змінної

1)

Знайти область визначення функції.

2)

Визначити парність, непарність графіка функції. Знайти інтервали знакосталості функції та точки перетину графіка з осями координат.

3)

Знайти точки розриву (якщо вони є) і визначити їх рід.

4)

Визначити асимптоти графіка функції.

5)

Знайти інтервали монотонності та екстремуми функції.

6)

Знайти точки перегину, інтервали опуклості і угнутості функції.

7)

За отриманими даними побудувати графік функції.

Асимптотою графіка функції називають пряму, відстань до якої від точки графіка наближається до нуля, якщо точка прямує до нескінченності уздовж кривої графіка .

Вертикальною асимптотою графіка функції називають пряму , якщо функція визначена в околі точки а (виключаючи, мабуть, саму точку а) і хоч би одна з односторонніх границь (лівостороння) або (правостороння) дорівнює нескінченності, тобто в точці функція має розрив другого роду.

Зауваження.

Для визначення вертикальних асимптот слід знайти ті значення аргументу, в околах яких функція необмежено зростає за абсолютною величиною.

Горизонтальною асимптотою графіка функції називають пряму , якщо існує скінченна границя функції при х, що прямує до плюс або мінус нескінченності, і ця границя дорівнює , тобто або .

Зауваження.

Якщо скінченною є тільки одна з границь або , то функція має лише лівобічну або правобічну горизонтальну асимптоту.

Похилою асимптотою графіка функції називають пряму , при , що прямує до плюс або мінус нескінченності, якщо , або .

Теорема 8.13.

Для того, щоб пряма була похилою асимптотою графіка функції при , що прямує до плюс або мінус нескінченності, необхідно і достатньо, щоб існували границі:

, (8.1)

. (8.2)

Зауваження.

Границі слід обчислювати окремо для випадків і , проте часто ці границі співпадають.

Якщо хоч би одна з границь (8.1) – (8.2) не існує, то функція не має похилих асимптот.

Горизонтальні асимптоти є частинним випадком похилих асимптот при .

Якщо , то функція може мати похилу асимптоту.

Приклад 8.7.

Знайти асимптоти графіка функції і зобразити їх на графіку.

Приклад 8.8.

Знайти асимптоти графіка функції .

Приклад 8.9.

Дослідити функцію і побудувати її графік.

1)

Область визначення функції: .

2)

Перевіримо функцію на парність, непарність: , . Оскільки і , значить, дана функція не є ні парною, ні непарною, отже, вона загального вигляду.

Інтервали знакосталості функції: при ; при .

Точка перетину графіка з осями координат: при .

3)

Точка є точкою розриву. Для визначення типу розриву знайдемо лівобічну і правобічні границі:

.

Отже, – точка розриву другого роду. Схему поведінки графіка функції поблизу точки розриву зображено на рисунку 8.7.

Рисунок 8.7 – Поведінка графіка функції поблизу точки розриву

4)

Знайдемо асимптоти графіка функції.

Оскільки односторонні границі при нескінченні, то це означає, що є вертикальною асимптотою. Горизонтальної асимптоти немає, оскільки . Похила асимптота має вигляд , оскільки

,

.

5)

Для знаходження інтервалів монотонності, знайдемо першу похідну функції:

.

Прирівняємо її до нуля у' = 0, визначивши тим самим критичні точки: , . Визначимо знак похідної на кожному інтервалі і тим самим знайдемо інтервали зростання і спадання функції. Результати досліджень представлено в таблиці 8.6:

Таблиця 8.6

Інтервали монотонності функції

Оскільки в інтервалах і похідна досліджуваної функції додатна, то в них функція зростає; в інтервалах і функція спадає.

Точка – точка максимуму: , – точка мінімуму: .

6)

Знаходимо другу похідну функції:

.

Друга похідна нулю дорівнювати не може, в точці має розрив. Точок перегину немає. Визначаючи знак другої похідної зліва і праворуч від точки , встановимо інтервали опуклості і угнутості графіка функції. Внаслідок того, що на інтервалі друга похідна від’ємна, то графік функції опуклий; на інтервалі друга похідна додатна і графік функції угнутий, що показано на рисунку 8.8:

Рисунок 8.8 – Знаки другої похідної зліва і праворуч

від критичної точки

7)

За результатами досліджень будуємо графік функції, який зображено на рисунку 8.9.

Рисунок 8.9 – Графік функції

Приклад 8.10.

Дослідити функцію і побудувати її графік.

1)

Область визначення функції: .

2)

Функція загального вигляду, оскільки .

Інтервали знакосталості функції: при ; при .

– точка перетину графіка функції з осями координат. Графік перетинає вісь абсцис в двох точках і .

3)

Точок розриву немає, оскільки функція визначена і неперервна на всій множені дійсних чисел.

4)

Знайдемо асимптоти графіка функції.

Вертикальних асимптот немає, оскільки функція визначена і неперервна на всій множині дійсних чисел.

Горизонтальної асимптоти немає, оскільки . Похила асимптота має вигляд , оскільки

,

.

5)

Знайдемо першу похідну функції:

.

Знайдемо критичні точки першого роду: (в цій точці ), , (в цих точках не існує). Визначимо знак похідної зліва і праворуч від кожної критичної точки. Результати представимо в таблиці 8.7.

Таблиця 8.7

Інтервали монотонності функції

В інтервалах , і функція зростає; в інтервалі ‑ спадає. Значить, – точка мінімуму. Значення функції в точці мінімуму: . – точка максимуму, значення функції в точці максимуму: . Точка не є точкою екстремуму.

6)

Знаходимо другу похідну функції:

.

Друга похідна нулю дорівнювати не може, в точках , не існує. Визначимо знак другої похідної зліва і праворуч від кожної критичної точки другого роду, представимо результати в таблиці 8.8:

Таблиця 8.8

Результати дослідження знаку другої похідної

Встановимо інтервали опуклості і угнутості: у інтервалах , графік функції угнутий, на інтервалі – опуклий, що показано на рисунку 8.10, – точка перегину.

7)

За результатами досліджень будуємо графік функції, що зображено на рисунку 8.10:

Рисунок 8.10 – Графік функції