Послідовність дій при дослідженні функції на опуклість, угнутість і точки перегину

1)

Знайти другу похідну функції .

2)

Знайти критичні точки другого роду функції , в яких друга похідна або не існує.

3)

Визначити знак другої похідної зліва і праворуч від кожної критичної точки.

4)

Зробити висновок про інтервали опуклості, угнутість графіка функції і наявність точок перегину.

5)

Знайти значення функції в точках перегину.

Приклад 8.5.

Знайти точки перегину, інтервали опуклості і угнутості графіка функції .

1)

Знайдемо першу та другу похідні: , .

2)

Знайдемо критичні точки другого роду функції , в яких друга похідна дорівнює нулю 0 або не існує. при , . Це абсциси точок, що “підозрілі” на перегин.

3)

Визначимо знак другої похідної зліва і праворуч від кожної критичної точки, представимо в результати в таблиці 8.4:

4)

Оскільки в інтервалах і друга похідна досліджуваної функції є додатною , то в цих інтервалах графік досліджуваної функції є угнутим; в інтервалі друга похідна функції є від’ємною , значить в цьому інтервалі графік досліджуваної функції є опуклим.

Оскільки під час переходу через точки , друга похідна досліджуваної функції змінює знак, то це точки перегину.

5)

Значення функції в точках перегину: , . Отже, і ‑ точки перегину графіка функції.

Приклад 8.6.

Знайти точки перегину, інтервали опуклості і угнутості графіка функції .

1)

Знайдемо другу похідну:

, .

2)

Знайдемо критичні точки другого роду функції , в яких друга похідна дорівнює нулю 0 або не існує. при , . Це абсциси точок, що “підозрілі” на перегин.

3)

Визначимо знак другої похідної зліва і праворуч від кожної критичної точки, представимо в результати в таблиці 8.5:

4)

Оскільки в інтервалах і друга похідна досліджуваної функції є додатною , то в цих інтервалах графік досліджуваної функції є угнутим; в інтервалі друга похідна функції є від’ємною , значить в цьому інтервалі графік досліджуваної функції є опуклим.

Оскільки під час переходу через точку друга похідна досліджуваної функції змінює знак, то це точка перегину.

Оскільки під час переходу через точку друга похідна досліджуваної функції не змінює знак, то ця точка не є точкою перегину.

5)

Знайдемо значення функції в точці перегину: .

Отже, ‑ точка перегину графіка функції.