Послідовність дій при дослідженні функції на екстремум за допомогою другої похідної

1)

Знайти похідну функції .

2)

Знайти критичні точки першого роду функції , в яких похідна або не існує.

3)

Знайти другу похідну функції.

4)

Визначити знак другої похідної в кожній критичній точці, де вона існує.

5)

Зробити висновок про наявність екстремумів функції.

6)

Знайти екстремуми функції.

Приклад 8.4.

Знайти екстремуми функції за допомогою другої похідної.

1)

Знайдемо першу похідну: .

2)

Знайдемо критичні точки, в яких перша похідна дорівнює нулю або не існує: . Отже, – критична точка (у якій ), – критична точка (у якій похідна не існує).

3)

Знайдемо другу похідну: .

4)

Визначимо знак другої похідної в критичній точці: .

5)

Оскільки друга похідна в критичній точці додатна, то – точка мінімуму.

6)

Знайдемо екстремум функції: .

Зауваження.

У критичній точці похідна не існує, отже досліджувати її на екстремум за допомогою другої похідної не можна. Проте за теоремою 8.6 можна показати, що ‑ точка максимуму. Отже, .

Диференційовану функцію називають опуклою на інтервалі , якщо її графік лежить нижче за будь-яку дотичну на цьому інтервалі (за виключенням точки дотику).

Диференційовану функцію називають угнутою на інтервалі , якщо її графік лежить вище за будь-яку дотичну на цьому інтервалі (за виключенням точки дотику).

Диференційовану функцію називають нестрого опуклою на інтервалі , якщо її графік лежить не вище за будь-яку дотичну на цьому інтервалі.

Диференційовану функцію називають нестрого угнутою на інтервалі , якщо її графік лежить не нижче за будь-яку дотичну на цьому інтервалі.

Зауваження.

Функція є одночасно нестрого опуклою та нестрого угнутою на інтервалі .

Точкою перегину графіка неперервної функції називають точку, що розділяє інтервали опуклості і угнутості.

Точкою перегину графіка неперервної функції називають точку, дотична до графіка функції в якій ділить графік на частини, що лежать по різні сторони від дотичної (у деякому околі точки дотику).

Точки, в яких друга похідна функції дорівнює нулю або не існує, але функція зберігає неперервність, називають критичними точками другого роду.

Теорема 8.9.

(критерій опуклості (угнутості) функції)

Диференційована в інтервалі функція є опуклою (угнутою) в тоді і тільки тоді, коли спадає (зростає) на інтервалі .

Диференційована в інтервалі функція є нестрого опуклою (нестрого угнутою) в тоді і тільки тоді, коли є незростаючою (неспадаючою) на інтервалі .

Теорема 8.10.

(достатня умова опуклості (угнутості) функції)

Якщо друга похідна функції на інтервалі , то функція є опуклою на цьому інтервалі.

Якщо друга похідна функції на інтервалі , то функція є угнутою на цьому інтервалі.

Теорема 8.11.

(необхідна умова перегину графіка функції)

Друга похідна двічі диференційованої функції в точці перегину дорівнює нулю, тобто .

Теорема 8.12.

(достатня умова перегину графіка функції)

Якщо друга похідна двічі диференційованої функції під час переходу через деяку точку змінює свій знак, то є точкою перегину.