Послідовність дій при дослідженні функції на екстремум за допомогою першої похідної

1)

Знайти похідну функції .

2)

Знайти критичні точки першого роду функції , в яких похідна або не існує.

3)

Визначити знак похідної зліва і праворуч від кожної критичної точки.

4)

Зробити висновок про наявність екстремумів функції.

5)

Знайти екстремуми функції.

Приклад 8.3.

Знайти екстремуми функції .

1)

Знайдемо першу похідну функції:

.

2)

Знайдемо критичні точки з умови : , .

3)

Визначимо знак похідної зліва і праворуч від кожної критичної точки. Результати представимо в таблиці 8.3.

4)

Оскільки похідна під час переходу через критичну точку змінює знак з плюса на мінус, то є точкою максимуму. Під час переходу через критичну точку похідна змінює знак з мінуса на плюс, то є точкою мінімуму.

5)

Знайдемо екстремуми функції: – максимум функції, – мінімум функції.

Зауваження.

Таблиці 8.1 – 8.3 містять інтервали монотонності функції, на які поділяється вся вісь ОХ критичними точками. У таблицю слід включати і точки розриву функції, якщо такі є.

Теорема 8.7.

(друга достатня умова екстремуму)

Нехай ‑ критична точка функції , в якій перша похідна дорівнює нулю . Тоді є точкою максимуму, якщо друга похідна в точці від’ємна , і є точкою мінімуму, якщо друга похідна в точці додатна . Якщо ж , то потрібне додаткове дослідження.

Зауваження.

Якщо в деякій критичній точці друга похідна дорівнює нулю , то друга достатня умова екстремуму не може бути застосована і дослідження слід проводити за допомогою першої достатньої умови екстремуму, або наступної теореми.

Теорема 8.8.

(друга достатня умова екстремуму)

Нехай функція має в точці похідну порядку , , і . Тоді якщо ‑ парне та , то ‑ точка максимуму; якщо , то ‑ точка мінімуму. Якщо ж ‑ непарне, то критична точка не буде точкою екстремуму.