Послідовність дій при дослідженні функції на монотонність

1)

Визначити область визначення функції .

2)

Знайти похідну функції.

3)

Знайти критичні точки першого роду функції , в яких похідна або не існує.

4)

Визначити знак похідної зліва і праворуч від кожної критичної точки.

5)

Зробити висновок про зростання або спадання функції.

Приклад 8.1.

Знайти інтервали монотонності функції .

1)

Дана функція є многочленом, тому область її визначення – це інтервал .

2)

Похідна функції має вигляд .

3)

Прирівнюємо похідну до нуля для того, щоб визначити критичні точки, в яких похідна даної функції дорівнює нулю:

, отже , звідки , , .

4)

Критичні точки , , розділяють область визначення функції на інтервали, в яких похідна не змінює знак. Визначаючи знак похідної на кожному інтервалі, тим самим визначаємо інтервали зростання і спадання функції. Результати досліджень представлено в таблиці 8.1.

х

–1/2

0

1/2

у'

+

‑

+

‑

у

5)

В інтервалах і похідна додатна , тому функція зростає в цих інтервалах. У інтервалах і похідна від’ємна , значить, досліджувана функція спадає в цих інтервалах. Таким чином, розглянуті інтервали будуть інтервалами монотонності.

Приклад 8.2.

Дослідити на монотонність функцію .

1)

Дана функція є многочленом, тому область її визначення – це інтервал .

2)

Похідна функції має вигляд .

3)

Прирівнюємо похідну до нуля для того, щоб визначити критичні точки, в яких похідна даної функції дорівнює нулю:

, отже , звідки , .

4)

Критичні точки , розділяють область визначення функції на інтервали, в яких похідна не змінює знак. Результати досліджень представлено в таблиці 8.2.

5)

В інтервалах , і похідна додатна , тому функція зростає в цих інтервалах.

Точку називають точкою локального максимуму, якщо значення функції в цій точці більше, ніж її значення в точках з деякого околу точки , тобто виконується нерівність .

Точку називають точкою локального мінімуму, якщо значення функції в цій точці менше, ніж її значення в точках з деякого околу точки , тобто виконується нерівність .

Значення функції в точках і називають відповідно максимумом і мінімумом функції. Мінімум і максимум функції називають екстремумами функції.

Зауваження.

Мінімум і максимум функції не обов’язково є відповідно найбільшим і найменшим значеннями, що приймає функція. Поза даним околом точки функція може приймати більші (менші) значення, ніж в цій точці.

Зауваження.

Функція може мати декілька максимумів і мінімумів.

Теорема 8.5.

(необхідна умова екстремуму)

Якщо диференційована функція має екстремум, то похідна функції в цій точці дорівнює нулю: .

Зауваження.

Якщо , то звідси не випливає, що в точці є екстремум. Наприклад, для функції точка є критичною, проте вона не є точкою екстремуму.

Зауваження.

Точка , в якій функція не є диференційованою, може бути точкою екстремуму. Наприклад, функція не має похідної в точці , проте ця точка є для цієї функції точкою мінімуму.

Теорема 8.6.

(перша достатня умова екстремуму)

Нехай функція є неперервною в усіх точках деякого інтервалу, що містить точку , і диференційованою в усіх точках цього інтервалу за виключенням (можливо) самої цієї точки. Тоді якщо при похідна функції , а при похідна функції , то точка х₀ є точкою максимуму; якщо при похідна функції , а при похідна функції , то точка х₀ є точкою мінімуму; якщо під час переходу через критичну точку х₀ похідна не змінює знак, то в точці х₀ екстремуму немає.

Зауваження.

Першу достатню умову екстремуму можна сформулювати так: якщо під час переходу через критичну точку х₀ похідна функції змінює знак із з плюса на мінус, то х₀ – точка максимуму. Якщо похідна функції змінює знак з мінуса на плюс, то х₀ – точка мінімуму. Якщо похідна функції знак не змінює, то в точці х₀ екстремуму немає.