8. Дослідження функції однієї змінної

Функцію називають зростаючою (неспадаючою) в деякому інтервалі Х, якщо для будь-яких , виконується нерівність .

Функцію називають спадаючою (незростаючою) в деякому інтервалі Х, якщо для будь-яких , виконується нерівність .

Визначену на деякому інтервалі зростаючу (спадаючу), або незростаючу (неспадаючу) функцію називають монотонною функцією.

Теорема 8.1.

(критерій монотонності функції)

Нехай функція визначена, неперервна та має скінченну похідну в усіх точках деякого інтервалу. Для того, щоб була неспадаючою (незростаючою) на цьому інтервалі, необхідно та достатньо виконання умови в усіх точках інтервалу.

Теорема 8.2.

(критерій зростання (спадання) функції)

Якщо функція визначена, неперервна та має скінченну похідну в усіх точках деякого інтервалу. Тоді для того, щоб була зростаючою (спадаючою) на цьому інтервалі, необхідно та достатньо виконання умов:

1) в усіх точках інтервалу;

2) не стає тотожньо нулем ні у якому проміжку з цього інтервалу.

Теорема 8.3.

(достатня умова зростання (спадання) функції)

Якщо в усіх точках деякого інтервалу перша похідна функції додатна , то функція на цьому інтервалі зростає. Якщо в усіх точках деякого інтервалу перша похідна функції від’ємна , то функція на цьому інтервалі спадає.

Теорема 8.4.

(необхідна умова зростання (спадання) функції)

Якщо диференційована функція зростає на деякому інтервалі, то похідна її невід’ємна на цьому інтервалі. Якщо диференційована функція f(x) спадає на деякому інтервалі, то похідна її не додатна на цьому інтервалі.

Точки, в яких функція визначена, а похідна дорівнює нулю або не існує, називають критичними точками першого роду.

Зауваження.

При дослідженні функції на монотонність, слід перш за все знайти область визначення функції.