Границі і диференціальне числення функцій Лекція 5. Границі

1. Означення границі

Якщо кожному натуральному числу n N поставлено у відповідність деяке дійсне число х_n, то говорять, що задано послідовність чисел х₁, х₂,…,х_n,…або послідовність {х_n}.

Числовою послідовністю , n = 1,2,... називається нескінченне число значень функції f(n), яка визначена на множині натуральних чисел. Числа – називаються членами (елементами) послідовності, хn – загальний член послідовності, n – номер члена. Послідовність вважається заданою, якщо наведено спосіб обчислення загального члена послідовності за його номером.

Наприклад, розглянемо послідовність, яка має загальний член обчислюючи послідовно дріб при отримуємо члени послідовності …, .

Число а називається границею числової, послідовності {хn}, якщо для кожного наперед заданого, як завгодно малого числа , починаючи з деякого номера N = N( ), для всіх n > N буде виконуватися нерівність . (2.1) Для позначення границі послідовності {хn} використовується запис = а, або при .

Послідовність називається збіжною, якщо вона має границю. Якщо послідовність границі не має, то вона називається розбіжною.

Інтервал виду (а–, а+), де  >0, називається  - околом точки а.

Нескінченно малі і нескінченно великі величини

Змінна величина хn називається нескінченно малою, якщо , тобто, якщо для будь-якого, як завгодно малого, додатнього числа  знайдеться таке натуральне число N, що для всіх n > N буде виконуватись нерівність хn .

Отже, члени послідовності {х_n}, починаючи з визначеного номера N і для всіх наступних номерів, необмежено наближаються до нуля.

Зауваження. Не слід плутати нескінченно малу з досить маленьким числом. Мале число є величина постійна, наприклад, 0,0001; 0,0000003. Нескінченно мала – величина змінна і зміст її в тому, що вона постійно зменшується. Ніяка постійна величина (крім нуля) не може вважатися нескінченно малою. Окремі члени нескінченно малої числової послідовності можуть бути як завгодно великими.

Нескінченно малі позначають через _n, _n, _n. Приклади нескінченно малих: _n= ,_n= , _n= .

Властивості нескінченно малих величин

1. Нескінченно мала величина обмежена.

2. Алгебраїчна сума скінченного числа нескінченно малих величин є нескінченно малою.

3. Добуток нескінченно малої на обмежену або на постійне число є нескінченно малою.

4. Добуток скінченного числа нескінченно малих є нескінченно малою величиною.

Зауваження. Відношення двох нескінченно малих величин може бути величиною скінченною, нескінченно малою і нескінченно великою. Відношення двох нескінченно малих величин являє собою “невизначеність” виду .

Теорема

Для того, щоб {xn} збігалась до числа а, необхідно і достатньо, щоб n = xn – а була нескінченно малою.

З теореми випливає, що змінну величину {x_n}, яка має границю, можна записати у вигляді суми постійної (границі а) і нескінченно малої:

x_n = _n + а.