Інтегральне числення Лекція 9. Невизначений інтеграл

9.1. Поняття невизначеного інтеграла

При диференціюванні задано функцію і потрібно знайти її похідну , тобто в рівності

(3.1)

функція відома, а треба знайти.

При інтегруванні невідома функція , але відома її похідна . Таким чином, інтегрування – дія, обернена диференціюванню.

Якщо має місце рівність (3.1), то функція називається первісною функції . Ясно, що , де - стала інтегрування, також буде первісною від . Можна довести, що інших первісних від немає, тобто є сукупність усіх первісних від .

Означення. Невизначеним інтегралом для неперервної функції називають множину всіх первісних функцій і позначають

. (3.2)

Основні властивості невизначеного інтеграла:

1)  ;

2) 

2)  ;

3)  .

Зауваження:

1) якщо , то .

2) якщо в чисельнику стоїть диференціал знаменника, то первісна такої функції дорівнює натуральному логарифму модуля знаменника

(3.3)

9.2. Таблиця основних інтегралів

11		99
22		110
33		111
44		112
55		113
66		114
77		115
88		1 16

Частина цих формул (наприклад, 2, 4, 5, 6, 7, 11) є оберненими до формул таблиці похідних, інші отримані за допомогою певних прийомів інтегрування, частину з яких ми розглянемо нижче.

При інтегруванні застосовуються часто дві такі властивості невизначеного інтеграла, безпосередньо пов'язаних з його обчисленням

9.3. Безпосереднє інтегрування

Суть його складається в тому, що іноді вдається складну функцію або добуток функцій за допомогою деяких операцій або формул зводити до суми табличних інтегралів. Безпосереднє інтегрування виконується з використанням таблиці інтегралів і наведених властивостей.

Приклад 3.1. Знайти

Р озв’язання.

Приклад 3.2. Знайти інтеграл

Розв’язання.

Тут почленним діленням інтеграл звівся до табличних 4 і 6.

Приклад 3.3. Знайти інтеграл .

Розв’язання.

Звернемо увагу на те, що , , тому інтеграли від цих функцій обчислюються за формулою 1 таблиці інтегралів.

Приклад 3.4. Знайти інтеграл .

Розв’язання. Виділимо цілу частину підінтегральної функції. Для цього поділимо чисельник на знаменник способом діленням многочлена на многочлен, або припишемо в чисельнику та і розглянемо суму дробів. Одержимо

.

.

9.4. Метод заміни змінної (метод підстановки)

Метод інтегрування підстановкою полягає у введенні нової змінної інтегрування (тобто підстановки). При цьому заданий інтеграл приводиться до нового інтеграла, що є табличним або до такого, що до нього зводиться (у випадку «вдалої» підстановки). Загальних методів підбора підстановок не існує. Уміння правильно визначити підстановку здобувається практикою.

Нехай потрібно обчислити інтеграл Зробимо підстановку х = φ(t), де φ(t) — функція, що має неперервну похідну.

Тоді dx = φ′(t) dt і на підставі властивості інваріантності формули інтегрування невизначеного інтеграла отримуємо формулу інтегрування підстановкою

(3.4)

Формула (3.4) також називається формулою заміни змінних у невизначеному інтегралі. Після знаходження інтеграла правої частини цієї рівності варто перейти від нової змінної інтегрування t назад до змінної х.

Іноді доцільно підбирати підстановку у вигляді t = φ(x), тоді де t = φ(x). Інакше кажучи, формулу (3.4) можна застосовувати праворуч і ліворуч.

Приклад 3.5. Знайти інтеграл