Лекція 4. Аналітична геометрія на площині

4. 4.1. Довжина відрізка та ділення відрізка у даному відношенні.

Відстань між точками. Відстань між двома точками та дорівнює кореню квадратному із суми квадратів різниць однойменних координат цих точок:

(1.20)

приклад 1.19. Задані точки А(8,0; 2,5) та В(8,9; 2,1). Знайти відстань між двома точками А та В.

Розв’язання.

Підставивши координати точок у формулу (1.20), маємо:

Ділення відрізка в заданому відношенню

Розглянемо відрізок ав, заданий координатами точок та . Точка поділяє відрізок ав у відношенні: (рис 1.1).

Рис. 1.1.

Координати точки с х та у визначаються формулами:

(1.21)

Коли , тобто точка С поділяє відрізок АВ пополам, то формули приймають вигляд:

(1.22)

приклад 1.20. Знайти координати точки С, яка поділяє відрізок АВ пополам.

Розв’язання. Координати точки С визначаємо за формулами (1.22)

4.2. Рівняння прямої

Рівняння прямої в прямокутній системі координат є рівняння першого степеня відносно змінних х та у. Рівняння прямої на площині задається в одному з таких видів.

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом та заданим відрізком на осі ОY:

(1.23)

де k – кутовий коефіцієнт прямої. Він характеризує напрямок прямої та дорівнює тангенсу кута нахилу прямої від додатного напрямку осі ОХ;

b –ордината точки перетину прямої з віссю ОY.

Рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки :

. (1.24)

Приклад 1.21. Трикутник заданий своїми вершинами А (8,0; 2,5), В(8,9; 2,1), С(2,4; 4,3). Знайти рівняння сторін АС та ВС.

Розв’язання. Рівняння сторін АС та ВС знаходимо, як рівняння прямих, які проходить через дві задані точки (1.24).

Рівняння сторони АС:

Підставляємо координати та отримаємо: або

.

Відповідно рівняння сторони Вс: або

; .

Рівняння прямої, яка проходить через задану точку в заданому напрямі:

(1.25)

де k – кутовий коефіцієнт прямої

Рівняння прямої у відрізках на осях:

(1.26)

де a – величина відрізку, що відтинає пряма на осі ОХ.,

b – величина відрізку, що відтинає пряма на осі ОY.

Загальне рівняння прямої:

. (1.27)

Нормальне рівняння прямої:

(1.28)

де p – довжина перпендикуляру з початку координат на пряму,

– кут між додатним напрямком осі ОХ та перпендикуляром .

Будь-яке рівняння прямої виду можна привести до нормального виду, для чого його треба помножити на нормуючий множник: Нормуючий множник повинен мати знак, протилежний знаку вільного члена С даного рівняння.

Відстань від точки до прямої заданої нормальним рівнянням дорівнює:

(1.29)

Якщо пряма задана загальним рівнянням (1.29), то відстань від точки до прямої дорівнює:

. (1.30)

Приклад 1.22. Для трикутника АВС, заданого своїми вершинами А (8,0; 2,5), В(8,9; 2,1), С(2,4; 4,3), знайти довжину перпендикуляру BF.

Розв’язання. Знайдемо довжину перпендикуляру BF як відстань між точкою В та стороною АС.

Приводимо рівняння сторони АС до загального виду

, , .

Знаходимо довжину перпендикуляру BF за формулою (1.30):

Кут між прямими.

Кутом між прямими. і називається кут, на який треба повернути навколо точки їх перетину проти ходу годинникової стрілки до співпадання її з . Для прямих, які задані рівнянням з кутовим коефіцієнтом та , кут між ними визначається за формулою:

(1.31)

Для паралельних прямих:

. (1.32)

Для перпендикулярних прямих:

(1.33)

Приклад 1.23. Знайти кут між сторонами АС та ВС трикутника АВС, заданого своїми вершинами А (8,0; 2,5), В(8,9; 2,1), С(2,4; 4,3).

Розв’язання . Приводимо загальне рівняння сторони АС до виду рівняння з кутовим коефіцієнтом (1.23). , , для рівняння сторони АС кутовий коефіцієнт .

Приводимо загальне рівняння сторони ВС до виду рівняння з кутовим коефіцієнтом

, , .

Для рівняння сторони ВС кутовий коефіцієнт .

Для визначення кута між сторонами АС та ВС трикутника АВС застосовуємо формулу (1.31):

, .

Приклад 1.24. Знайти рівняння висоти BF трикутника АВС, заданого своїми вершинами А(8,0; 2,5), В(8,9; 2,1), С(2,4; 4,3).

Розв’язання. Висота BF трикутника АВС перпендикулярна до сторони АС, та проходить через точку В. Це відповідає рівнянню прямої, яка проходить через задану точку в заданому напрямі З умов перпендикулярності двох прямих (1.35) знаходимо кутовий коефіцієнт прямої BF. Кутовий коефіцієнт АС . Кутовий коефіцієнт прямої BF

Рівняння висоти BF трикутника АВС :

Приклад 1.25. Знайти точку перетину медіани АD та висоти BF трикутника АВС, заданого своїми вершинами А(8,0; 2,5), В(8,9; 2,1), С(2,4; 4,3).

Розв’язання. Точка , точка перетину медіани АD та висоти BF трикутника АВС, знаходиться як розв’язання системи рівнянь прямих: медіани АD та висоти BF. Рівняння висоти BF трикутника АВС

знаходимо координати точки D за формулами (1.22):

Рівняння медіани АD находимо як рівняння прямої, яка проходить через дві точки А та D

; ,

або

Знаходимо точку перетину медіани АD та висоти BF трикутника АВС:

;

.

Розв’язуємо систему рівнянь за формулами Крамера.

Визначник системи рівнянь .

Визначник .

.

Визначник .

.

Відповідь: точка перетину медіани АD та висоти BF трикутника АВС– точка .