
- •Елементи лінійної алгебри і аналітичної геометрії.
- •Визначники
- •Числа, що утворюють визначник, називаються його елементами та позначаються подвійними індексами аi j, де I-номер рядка, j –номер стовпця.
- •Властивості визначників
- •Мінори та алгебраїчні доповнення
- •Обчислення визначників
- •1.2. Матриці Основні поняття
- •Дії з матрицями
- •Обернена матриця
- •Властивості оберненої матриці:
- •2.1. Формули Крамера
- •2.2. Метод оберненої матриці
- •Лекція 3. Елементи векторної алгебри
- •Розв’язання.
- •3.1. Лінійні операції з векторами
- •Лекція 4. Аналітична геометрія на площині
- •4.1. Довжина відрізка та ділення відрізка у даному відношенні.
- •Розглянемо відрізок ав, заданий координатами точок та . Точка поділяє відрізок ав у відношенні: (рис 1.1).
- •Координати точки с х та у визначаються формулами:
- •4.2. Рівняння прямої
- •Криві другого порядку
- •Границі і диференціальне числення функцій Лекція 5. Границі
- •Означення границі
- •Властивості нескінченно малих величин
- •Нескінченно великі величини
- •Властивості нескінченно великих величин
- •Границя функції
- •Порівняння нескінченно малих
- •Основні еквівалентності при
- •Визначні границі
- •Неперервність функції
- •Властивості функцій, неперервних у точці.
- •Типи точок розриву
- •Лекція 6. Похідна і диференціал
- •Задачі, що приводять до поняття похідної
- •Означення похідної
- •Необхідна умова диференційовності функції
- •Основні формули диференціювання
- •Основні правила диференціювання
- •. Неявна функція та її диференціювання
- •Контрольний тест.
- •Логарифмічне диференціювання
- •Похідні вищих порядків
- •2.6. Диференціал
- •Лекція 7. Дослідження функцій і побудова графіків
- •7.1. Інтервали монотонності і екстремум функції
- •7.2. Опуклість і угнутість графіка функції. Точки перегину
- •7.3. Асимптоти кривої
- •7.4. Загальна схема дослідження функції. Побудова графіків функцій
- •Найбільше і найменше значення функції на відрізку
- •8. Функції багатьох змінних
- •8.1 Частинні похідні і повний диференціал
- •8.2. Екстремум функцій двох змінних
- •Інтегральне числення Лекція 9. Невизначений інтеграл
- •9.1. Поняття невизначеного інтеграла
- •9.2. Таблиця основних інтегралів
- •9.3. Безпосереднє інтегрування
- •9.4. Метод заміни змінної (метод підстановки)
- •Розв’язання
- •Розв’язання
- •9.5. Інтегрування частинами
- •9.6. Інтеграли від виразів з квадратним тричленом
- •9.7. Інтеграли від деяких ірраціональних функцій
- •9.8. Інтегрування деяких класів тригонометричних функцій
- •Лекція 10. Визначений інтеграл
- •10.1. Основні поняття
- •10.2. Методи обчислення визначеного інтеграла
- •Лекція 11. Застосування визначеного інтеграла
- •11.1. Обчислення площ плоских фігур
- •Лекція 12. Невласні інтеграли
- •12.1. Інтеграли з нескінченними межами (невласні інтеграли I роду)
- •12.2. Інтеграл від необмеженої функції (невласні інтеграли II роду)
- •Лекція 13.Звичайні диференціальні рівняння
- •13.1 Основні поняття
- •13.2. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними
- •13.3. Однорідні диференціальні рівняння
- •13.4. Лінійні диференціальні рівняння
- •1. Метод Бернуллі
- •2. Метод Лагранжа (метод варіації довільної сталої)
- •13.5. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами
- •Лекція 14. Ряди
- •14.1. Поняття числового ряду. Сума ряду
- •14.2. Збіжність числових рядів. Необхідна ознака збіжності ряду
- •Достатні ознаки збіжності
- •Приклад 4.20. Визначити збіжність ряду .
- •Приклад 4.22. Дослідити збіжність ряду
- •Інтегральна ознака Коші.
- •Приклад 4.23. Дослідити збіжність ряду
- •14.4. Ряд, знаки членів якого чергуються
- •1 4.5. Степеневі ряди
- •Розв’язання. Знайдемо розкладення в ряд Тейлора функції за формулою (4.26). Знаходимо похідні порядку та їх значення при :
- •14.7. Використання рядів у наближених обчисленнях
Лекція 3. Елементи векторної алгебри
Векторними називаються величини, визначені їх числовим значенням та напрямом.
Вектор
– відрізок, який має визначену довжину
та напрям і позначається
або
.
Точка А
- початок вектора, точка В
- кінець.
Довжина вектора
називається його модулем або абсолютною
величиною і позначається
,
напрямок АВ
визначається променем АВ.
Два вектора
та
вважаються рівними, якщо рівні їх модулі
та співпадають їх напрямки. Вектор не
змінюється, якщо його перенести паралельно
самому собі в будь-яку точку простору.
Такий вектор називається ковзним.
Проекцією вектора на вісь ОХ називається довжина відрізку А1В1 цієї осі між проекціями А1 та В1 точок А та В, узята зі знаком “+”, якщо напрямок відрізку А1В1 співпадає з напрямком осі ОХ., та зі знаком “-“ , якщо напрямок відрізку А1В1 протилежний напрямку осі ОХ . Проекція дорівнює добутку модуля вектора на косинус кута між віссю та вектором:
(1.8)
одиничні
вектори координатних осей
називаються ортами.
Координати вектора це проекції вектора на осі координат
.
вектор можна записати через координати так:
.
Якщо вектор
заданий точками
та
то його можна записати так:
.
Кути
вектора
з осями координат називаються напрямними,
а напрямні
косинуси
визначаються як:
.
(1.9)
і відповідають
умові:
.
модуль
вектора
дорівнює кореню квадратному із суми
квадратів його координат:
.
(1.10)
Приклад
1.13.
Знайти вектор, який має одиничний модуль
і такий напрямок, що і вектор
.
Розв’язання.
Одиничний вектор знайдемо за формулою:
,
(1.11)
де
- довжина вектора
.
;
.
Приклад
1.14.
Знайти напрямні косинуси вектора
.
Розв’язання.
Одиничний вектор має модуль, що дорівнює одиниці. Тому з формул (1.9) та (1.10) слідує, що
;
Відповіді, отримані в прикладах 1.13 і 1.14, повинні співпадати.
Колінеарні вектори – належать паралельним або одній і тій же прямій, а їх координати відповідають умовам:
.
(1.12)
Компланарні вектори – належать паралельним або одній і тій же площині.
Протилежні вектори – два колінеарні вектори однакові за модулем та протилежно спрямовані.
3.1. Лінійні операції з векторами
Сумою
векторів
називається
вектор
,
який замикає ламану, побудовану з даних
векторів і проведений від початку
вектора
в
кінець вектора
,
за умови, що початок вектора
прикладений до кінця вектора
,
а початок вектора
прикладений до кінця вектора
.
Якщо вектори
задані своїми проекціями
,
,
то їх алгебраїчна сума дорівнює
алгебраїчній сумі відповідних координат:
.
(1.13)
добутком
вектора
на
число
k
називається новий вектор, проекції
якого є добуток числа k
на відповідну координату:
,
модуль
якого
,
а напрямок якого співпадає з
,
якщо k>0
або
протилежний, якщо k<0.
Скалярний добуток векторів
Скалярним
добутком двох векторів
називається число, що дорівнює добутку
модулів цих векторів та косинуса кута
між ними:
.
(1.14)
Скалярний добуток двох векторів це також добуток модуля одного з векторів на проекцію другого вектора на перший вектор:
.
(1.15)
Властивості скалярного добутку:
.
.
Якщо
, тоді
. Отже
:
.
(1.16)
Якщо вектори
задані координатами
то
.
(1.17)
Приклад
1.15.
Знайти скалярний добуток вектора
,
та вектора, що виходить від точки B(1;0;1)
до точки C(-2;1;0).
Розв’язання:
Скалярний добуток векторів обчислюється за формулою (1.17)
де
.
Підставивши
й
у зазначену формулу, одержимо
.
Кут між векторами:
.
(1.18)
Умови перпендикулярності векторів:
.
(1.19)
Приклад
1.16. Визначити
координати вектора
,
колінеарного вектору
,
знаючи, що
і він спрямований у тому ж напрямку, що
і вектор
.
Розв’язання.
Якщо вектори
,
тоді виконується співвідношення (1.12).
Підставивши координати вектора
,
одержимо
або
,
,
.
Тоді
;
;
.
Так як
вектори
і
спрямовані в одну сторону, тоді
.
Отже,
.
Приклад
1.17.
Знайти
,
якщо
,
.
Розв’язання:
Для розв’язування цієї задачі варто скористатися формулою:
.
Знайдемо
і
,
пам'ятаючи, що
,
,
.
,
.
Тоді
.
Приклад
1.18.
Задано вектори:
(0,1;
0,5; 2,7),
=(1,4;
8,4; 9,1),
=(5,6;
2,8; 5,1),
=
(8,5; 8,2; 9,3).
Знайти: вектори
= 6,2 ;
;
довжину вектора ;
скалярний добуток векторів
;
кут між векторами та ;
знайти проекцію вектора на вектор .
Розв’язання.
Вектор =6,2
=(0,62; 3,1; 16,74).
Вектор =(1,4-5,6; 8,4-2,8; 9,1-5,1)=(-4,2; 5,6; 4,0).
Довжина вектора =
.
Скалярний добуток векторів
;
Кут між векторами
та :
.
Проекція вектора на вектор :
.