Розв’язання. Знайдемо розкладення в ряд Тейлора функції за формулою (4.26). Знаходимо похідні порядку та їх значення при :
;
;
і так далі.
При
х=0
;
;
і так далі.
За формулою Маклорена
.
(4.28)
Розкладення функцій в прикладах (4.32), (4.33) входять в шість основних розкладень за формулою Маклорена із залишковим членом у формі Лагранжа. Решта з них така:
(4.29)
(4.30)
(4.31)
(4.32)
де
(4.33)
14.7. Використання рядів у наближених обчисленнях
Основою застосування рядів в наближених обчисленнях є розкладання функції в ряд Маклорена.
У прикладах,
які запропоновані в індивідуальному
завданні, досить скористатися відомими
розкладаннями в ряд Маклорена функцій
Відомо, що для всіх цих функцій залишковий
член із зростанням n
швидко наближається до нуля. Тому можна
приблизно обчислити з наперед заданою
точністю функції (4.28-4.34), без залишкового
члена.
Приклад
4.34.
Обчислити з точністю до 0,0001 наближене
значення
.
Розв’язання.
Відомо, що при будь-якому х,
степеневий ряд можна почленно інтегрувати
в його області збіжності. Використовуємо
ряд
.
Підставляємо
.
Отримаємо ряд
Інтегруючи, отримаємо
Модуль п'ятого члена знакозмінного ряду менше 0,0001. Згідно наслідку з теореми Лейбніця, для отримання необхідної точності досить взяти суму перших чотирьох членів ряду.
Кожен доданок необхідно обчислювати з точністю до 0,00001, а отриманий результат округляти до 4-х знаків.
.