1 4.5. Степеневі ряди

Для визначення збіжності такого степеневого ряду можна використовувати узагальнену ознаку Даламбера. Знаходимо

.

Ряд збіжний при q < 1. Доведено також, що при q > 1 ряд розбіжний. Таким чином, додатковому дослідженню підлягають лише ті значення, при яких q = 1.

Якщо степеневий ряд містить лише послідовні степені, то дещо простіше використовувати формулу для радіусу збіжності, яка випливає з ознаки Даламбера: де , – коефіцієнт при загальному членові .

Приклад 4.28. Знайти область збіжності ряду

Розв’язання.

Ряд збіжний в інтервалі (-1; 1).

Розглянемо збіжність ряду на кінцях цього інтервалу.

а) . Отримаємо ряд

Оскільки і , то за теоремою Лейбніця ряд збіжний.

б) . Отримаємо ряд

Це гармонійний ряд, який, як відомо, розбіжний.

Отже, область збіжності даного ряду є напівінтервал [-1; 1).

Приклад 4.29. Знайти інтервал збіжності ряду:

Розв’язання.

Знаходимо радіус збіжності

.

Ряд збіжний при .

При маємо ряд , який розбіжний за ознакою порівняння з гармонійним рядом.

При маємо ряд , який збіжний за ознакою Лейбніця.

Отже область збіжності

Приклад 4.30. Знайти область збіжності ряду: .

Розв’язання.

Радіус збіжності

; .

При х=1

Збіжність ряду перевіряємо за теоремою порівняння рядів. Оскільки в знаменнику загального члена старший степінь n рівний 2, то для порівняння візьмемо ряд, отриманий з гармонійного ряду з n в степені 2.

Відомо, що ряди, отримані з гармонійного ряду з n в степені більше 1, збіжні. Порівнюємо відповідні члени початкового і досліджуваного ряду.

.

Отже, ряд також збіжний.

При х=-1 отримаємо ряд:

Ряд збіжний за теоремою Абеля, яка стверджує, що коли збігається ряд складений з членів знакозмінного ряду, взятих із знаком плюс, то і знакозмінний ряд збіжний.

Відповідь. Область збіжності ряду [-1;1].

14.6. Формула Тейлора

Многочлен – найбільш проста функція, тому велике теоретичне і практичне значення має завдання, чи можна задану функцію f(x) приблизно замінити (апроксимувати) многочленом.

Виявляється, це завдання вирішується при достатньо загальних умовах.

Якщо функція f(x) має похідні до (n + 1) -го порядку включно в деякому замкнутому інтервалі, який містить точку х= а, то можна припустити, що функція f(x) буде в якомусь сенсі "близька" до многочлена P_n(x) степеня не вище п, якщо в точці х=а збігаються значення f(x) і P_n(x) і значення їх похідних до n-го порядку включно. Різниця між функцією f(x) і многочленом P_n(x) називаеться залишковим членом:

тобто

(4.24)

Тоді

, де (4.25)

називається формулою Тейлора із залишковим членом у формі Лагранжа.

Залишковий член дозволяє оцінити похибку заміни функції f(x) многочленом Р_п(х).

При а = 0 отримаємо окремий випадок формули Тейлора, яку називають формулою Маклорена:

, де (4.26)

Формула Тейлора одна з важливих формул математичного аналізу, вона має численні застосування в багатьох питаннях математичного аналізу і його застосувань. Зокрема, якщо залишковий член при , то різниця f(x) -P_n(x) може бути як завгодно малою, тобто формула Тейлора в цьому випадку дозволяє функцію складної природи замінити многочленом з будь-якою заданою точністю.

Приклад 4.32. Написати формулу Маклорена для функції .

Розв’язання. Маємо:

; ; ; ; ; ; і так далі. Видно, що починаючи з похідної п'ятого порядку, вони повторюються. При х=0

; ; ; ; ; ; і так далі.

За формулою Маклорена:

тому що періодична функція, обчислення її значень для довільного х можна звести до обчислення в точці відрізка . Таким чином залишковий член з зростанням n швидко наближається до нуля. Тому можна наближені обчислення функції проводити відкинувши залишковий член:

(4.27)

Приклад 4.33. Розкласти в ряд функцію .