Приклад 4.22. Дослідити збіжність ряду

Розв'язання.

тому що

Радикальна ознака Коші застосовується, якщо загальний член має вигляд aⁿ.

Інтегральна ознака Коші.

Якщо члени ряду додатні і монотонно спадають і при цьому існує функція f(х), для якої виконується умова f(1)= U₁, f(2)= U₂, f(3)= U₃, …, f(n)= U_n, тоді, якщо невласний інтеграл збігається, то збігається і ряд, якщо ж невласний інтеграл розбігається, то і ряд розбігається.

Приклад 4.23. Дослідити збіжність ряду

Розв'язання. Члени ряду монотонно спадають і ,

Невласний інтеграл збігається, тому і ряд збігається.

Приклад 4.24. Розглянемо гармонійний ряд (4.21). Для нього члени ряду монотонно спадають і .

Невласний інтеграл розбігається, тому і ряд розбігається.

Ознаки порівняння рядів. Нехай дано ряди

(4.22)

(4.23)

з додатними членами:

а) 1. Нехай ряд (4.23) збігається, а члени ряду (4.22) не більше відповідних членів ряду (4.23), тоді ряд (4.22) також збігається.

2. Якщо ряд (4.23) розбігається, а члени ряду (4.22) не менше відповідних членів ряду (4.23), то ряд (4.22) також розбігається.

б) якщо для рядів (4.22) і (4.23) виконується умова , то обидва ряди збігаються або розбігаються одночасно.

Приклад 4.25. Дослідити збіжність ряду

Розв'язання. Порівняємо його з гармонійним рядом, що розбігається. Члени даного ряду не менше відповідних членів гармонійного ряду, тому він також розбігається.

Приклад 4.26. Визначити збіжність ряду

Розв'язання. Порівняємо його з рядом , який збігається як нескінченно спадна геометрична прогресія.

Члени даного за умовою ряду не більше членів цього ряду і тому даний ряд збігається.

14.4. Ряд, знаки членів якого чергуються

Розглядаються ряди, у яких два сусідніх члени ряду мають різні знаки, наприклад:

для визначення збіжності таких рядів використовується теорема Лейбніця:

Ряд збігається, якщо його члени монотонно спадають за абсолютною величиною і загальний член наближається до нуля при п, яке наближається до нескінченості, тобто виконуються умови:

1. послідовність абсолютних величин членів ряду монотонно спадає, тобто

2. загальний член ряду прямує до нуля

При цьому сума S ряду (10) задовольняє нерівності: .

Абсолютна збіжність ряду. коли ряд, складений з абсолютних членів ряду, у якого знаки чергуються, збігається, то і заданий ряд збігається абсолютно.

Умовна збіжність ряду. коли ряд, складений з абсолютних членів збіжного ряду, у якого знаки чергуються, розбігається, то заданий ряд збігається умовно.

Приклад 4.27. Дослідити збіжність ряду .

Розв'язання. Ряд задано у згорнутому вигляді. Представимо його в розгорнутому виді, підставляючи послідовно :

Ряд збігається за ознакою Лейбніця, тому що виконуються обидві її умови, а саме;

1. Абсолютні значення членів ряду монотонно спадають:

2. Загальний член ряду має границею нуль:

Перевіряємо ряд на абсолютну збіжність. ряд, складений з абсолютних членів заданого ряду

розбігається, тому що він утворений з непарних членів гармонійного ряду, який розбігається.

Тому і даний ряд збігається умовно.