Лекція 14. Ряди

14.1. Поняття числового ряду. Сума ряду

Розглянемо вираз

(4.18)

Тоді – члени ряду, які утворюють нескінченну последовність, називають загальним членом ряду (4.18).

Вони можуть бути числами, функціями і відповідні ряди тоді називаються числовими або функціональними. Якщо числа додатні або від'ємні, то ряди називаються знакосталими.

Ряд можна записати в згорнутом вигляді:

Будемо далі розглядати додатні числові ряди.

Приклад 4.14. Розглянемо знакосталий ряд, загальний член якого утворює геометричну прогресію

.

Приклад 4.15. Розглянемо знакосталий ряд, загальний член якого утворює арифметичну прогресію

Приклад 4.16. Розглянемо ряд

Тут чисельник загального члену утворює арифметичну прогресію з , а знаменник арифметичну прогресію з .

14.2. Збіжність числових рядів. Необхідна ознака збіжності ряду

називається частковою сумою ряду. Якщо існує границя послідовності часткових сум ряду, то ряд називається збіжним, а якщо границя не існує, або дорівнює нескінченності, то ряд називається розбіжним.

(4.19)

Для збіжного ряду його залишок має границю рівну

. (4.20)

Отже, врахувавши достатньо велику кількість членів збіжного ряду, можна суму цього ряду обчислити з будь-якою точністю. Тому головною задачею теорії рядів є визначення збіжності, а обчислення суми має вже допоміжне значення.

З (4.20) випливає необхідна ознака збіжності. Якщо ряд (4.18) збігається, то його загальний член U_n має границю: .

Приклад 4.17. Розглянемо суму геометричної прогресії

Тому сума нескінченої геометричної прогресії при q<1 дорівнює . Так для прикладу 4.9 ряд – збіжний і сума дорівнює .

Таким чином, маємо цілу сім'ю збіжних рядів – геометричні прогрессії зі знаменником q<1.

Так для наведеного ряду (приклад 4.9)- збіжного

ряд може збігатися;

для ряду (приклад 4.10) ряд розбіжний;

для ряду (приклад 4.11)

ряд розбіжний.

Приклад 4.18. Розглянемо ряд

(4.21)

Це так званий гармонійний ряд. ряд може збігатися. Але цієї ознаки не досить, щоб визначити збіжність ряду.

Приклад 4.19. Дослідити збіжність ряду:

ряд розбігається.

Для визначення збіжності рядів існують достатні ознаки збіжності.

3. Достатні ознаки збіжності

Розглядаємо знакододатні ряди, тобто .

Ознака Даламбера. Якщо для знакододатнього числового ряду (4.18) існує границя , то якщо q<1, то ряд збігається,якщо q>1, ряд розбігається, якщо q=1, треба застосувати іншу достатню ознаку збіжності.

Приклад 4.20. Визначити збіжність ряду .

Отже, ряд збігається.

Зауваження. Щоб із загального члена U_n отримати n+1–й член, треба в формулі для U_n замінити n на n+1.

Приклад 4.21. Розглянемо ряд

.

Ряд збігається.

Радикальна ознака збіжності Коші.

Розглянемо для ряду (4.18) вираз

. (4.22)

Якщо b_n має границю, то при <1 - ряд збігається, b_n>1 -розбігається, b_n=1 -необхідно застосувати іншу ознаку.