12.2. Інтеграл від необмеженої функції (невласні інтеграли II роду)
Нехай
функція
визначена і неперервна при
,
а при
функція або не визначена, або містить
розрив. У цьому випадку не можна говорити
про інтеграл
як про границю інтегральних сум, тому
що
не визначена на відрізку
,
і тому ця границя може і не існувати.
Інтеграл
від функції
,
необмеженій в точці b,
означається таким способом:
.
Означення. Якщо границя, яка стоїть справа, існує, то інтеграл називають невласним збіжним інтегралом, інакше інтеграл називають розбіжним.
Якщо функція
необмежена в лівому кінці відрізка
(тобто при
),
то за означенням
.
Якщо функція
необмежена в деякій точці
,
яка лежить усередині відрізка
,
то
,
якщо обидва невласні інтеграли, які
стоять у правій частині рівності,
існують.
Приклад 3.27. Обчислити невласні інтеграли:
а)
б)
.
Отже, даний інтеграл розбігається.
Зауваження.
Якщо функція
,
визначена на відрізку
,
має всередині цього відрізка скінченне
число точок розриву
,
то інтеграл від функції
на відрізку
означається так:
,
якщо кожний із невласних інтегралів у
правій частині рівності збігається.
Якщо ж хоча б один із цих інтегралів
розбігається, то і
називається розбіжним.
Багато прикладів зручніше розв’язувати, використовуючи умовну форму запису.
Приклад
3.28.
Знайти
Розв'язання.
Під
записом,
наприклад,
мається
на увазі
.
Приклад
3.29.
Знайти
Розв’язання.
Підінтегральна
функція
розривна в точці
х
= 0, що лежить
усередині
відрізка
[-1;1]. За означенням,
Обчислимо
перший інтеграл.
За означенням,
Тому що цей інтеграл розбігається, то розбігається і заданий інтеграл.
Зауваження.
Якби
ми не звернули
увагу
на те, що
при
функція
розривна, і
стали
б обчислювати інтеграл
за формулою
Ньютона-Лейбніця,
то одержали
б помилковий результат.
Модуль IV. диференціальні рівняння. Ряди
Лекція 13.Звичайні диференціальні рівняння
13.1 Основні поняття
Означення.
Звичайним
диференціальним рівнянням
називається рівняння, яке пов'язує
незалежну змінну х,
шукану функцію
та її похідні
,
,
…,
,...
Символічно диференціальне рівняння можна записати так:
(4.1)
або
. (4.2)
Означення. Порядком диференціального рівняння називається порядок найвищої похідної, що входить у рівняння.
Так, наприклад, рівняння
є рівняння
першого порядку.
Рівняння
є рівняння
другого порядку.
Означення. Розв'язком або загальним інтегралом диференціального рівняння називається така функція , яка, після підставлення в рівняння, перетворює його в тотожність.
Диференціальне рівняння першого порядку має вигляд
. (4.3)
Якщо це рівняння можна розв'язати відносно , то його можна записати у вигляді
. (4.4)
Означення.
Умова, що при
функція у
повинна дорівнювати заданому числу
,
називається початковою
умовою,
або умовою
Коші.
Вона записується у вигляді
або
. (4.5)
Означення. Задача, у якій потрібно знайти частинний розв’язок рівняння , який задовольняє початковій умові , називається задачею Коші.
Означення. Загальним розв’язком диференціального рівняння першого порядку називається функція
, (4.5)
яка залежить від однієї довільної сталої С і задовольняє наступним умовам:
а) вона задовольняє диференціальному рівнянню при будь-якому конкретному значенні сталої С;
б) яка б не
була початкова умова
при
,
тобто
,
можна знайти таке значення
,
що функція
задовольняє даній початковій умові.
У процесі знаходження загального розв'язку диференціального рівняння ми можемо прийти до співвідношення вигляду
, (4.6)
не розв'язаному відносно у. Розв'язавши це співвідношення відносно у, одержуємо загальний розв'язок. Однак не завжди удається виразити у в елементарних функціях; у таких випадках загальний розв'язок залишається в неявному вигляді.
Означення. Рівність вигляду , яка неявно задає загальний розв'язок, називається загальним інтегралом диференціального рівняння.
Означення.
Частинним
розв'язком
називається будь-яка функція
,
яка утворюється з загального розв'язку
,
якщо в останньому довільної сталої С
придати визначене значення
.
Співвідношення
називається в цьому випадку частинним
інтегралом
рівняння.
З геометричної точки зору загальний інтеграл представляє собою сімейство кривих на координатній площині, які залежать від однієї довільної сталої С. Ці криві називаються інтегральними кривими даного диференціального рівняння. Частинному інтегралу відповідає одна крива цього сімейства, яка проходить через деяку задану точку площини.
Розв’язати або проінтегрувати диференціальне рівняння - значить:
а) знайти його загальний розв'язок або загальний інтеграл (якщо початкові умови не задані) або
б) знайти той частинний розв'язок рівняння, який задовольняє заданим початковим умовам (якщо такі є).
Означення.
Особливим
розв'язком називається
такий розв'язок, у всіх точках якого
умова єдиності не виконується, тобто в
будь-якому околі кожної точки
особливого розв'язку існують принаймні
дві інтегральні криві, які проходять
через цю точку.
Особливі
розв'язки не утворюються з загального
розв'язку диференціального рівняння
ні при яких значеннях довільної сталої
С
(у тому числі і при
).