Лекція 11. Застосування визначеного інтеграла

11.1. Обчислення площ плоских фігур

Всяку обмежену множину точок на площині називають плоскою фігурою.

Якщо f(x) 0 на відрізку [a; b], то визначений інтеграл являє собою площу криволінійної трапеції – фігури, обмеженої лініями y = f (x), y = 0, x = a і x=b:

(3.6)

Якщо фігура обмежена двома неперервними кривими й , причому , то

(3.7)

Якщо f(x)  0 відрізку [a; b], то

(3.8)

Приклад 3.20. Обчислити площу області, обмеженої лініями , , .

Розв'язання. Побудуємо область, площу якої необхідно знайти (рис. 3.2).

Рис. 3.2

Шукана площа обчислюється за формулою (3.6)

(кв. од.)

Приклад 3.21. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями

і .

Розв’язання. Побудуємо дану фігуру (рис. 3.3). Для визначення меж інтегрування розв’яжемо систему двох рівнянь і .Маємо , звідки . Тому що парабола обмежує фігуру знизу, а пряма – зверху, то , .

Рис. 3.3

Отже, за формулою (3.7)

(кв. од.).

Особливості заміни змінної й інтегрування частинами в визначеному інтегралі показано на прикладах.

Приклад 3.22. Знайти

Розв'язання. Нехай . Тоді . Нова змінна буде змінюватися, взагалі, у інших межах. При . При . Будемо мати

Таким чином, на відміну від заміни змінної у невизначеному інтегралі, тут нема необхідності повертатися до початкової змінної. Однак, необхідно заміняти межі інтегрування.

Приклад 3.23. Обчислити визначені інтеграли:

а)

б)

Приклад 3.24. Знайти

Розв'язання. Нехай , . Тоді , .

Застосуємо формулу інтегрування частинами у визначеному інтегралі:

Знайдемо:

Лекція 12. Невласні інтеграли

12.1. Інтеграли з нескінченними межами (невласні інтеграли I роду)

Нехай функція визначена і неперервна при усіх значеннях х таких, що . Розглянемо інтеграл . Цей інтеграл має смисл при усіх . При зміні b інтеграл змінюється. Розглянемо питання про поведінку цього інтеграла при .

Означення. Якщо існує скінченна границя , то ця границя називається невласним інтегралом від функції на інтервалі і позначається так: .

Отже, за означенням маємо: .

Говорять, що в цьому випадку невласний інтеграл існує або збігається. Якщо при не має скінченної границі, то говорять, що невласний інтеграл не існує або розбігається.

Легко з'ясувати геометричний зміст невласного інтеграла у випадку, коли : якщо інтеграл виражає площу області, обмеженої кривою , віссю абсцис і ординатами , , то природно вважати, що невласний інтеграл виражає площу необмеженої (нескінченної) області, замкнутої між лініями , і віссю абсцис.

Аналогічним чином означаються невласні інтеграли і від інших нескінченних інтервалів.

. .

Останню рівність варто розуміти так: якщо кожний із невласних інтегралів, який стоїть справа, існує, то існує (збігається) за означенням й інтеграл, який стоїть зліва.

Приклад 3.25. Обчислити невласні інтеграли:

а)

б) .

Другий інтеграл дорівнює . Обчислимо перший інтеграл.

Отже, .

Приклад 3.26. Показати, для яких значень інтеграл збіжний, а для яких розбіжний.

Розв'язання.

При .

Отже, щодо аналізованого інтеграла можна зробити такі висновки:

якщо , то , тобто інтеграл збігається;

якщо , то , тобто інтеграл розбігається.

При , тобто інтеграл розбігається.