9.8. Інтегрування деяких класів тригонометричних функцій

1. Для знаходження інтегралів типу використо-вуються наступні прийоми:

1) підстановка sinx = t, якщо n — ціле додатне непарне число;

2) підстановка cosx = t, якщо m— ціле додатне непарне число;

3) формули зниження порядку:

якщо m і n — цілі невід’ємні парні числа;

4) підстановка tg х = t, якщо m+n — парне від’ємне ціле число.

Приклад 3.18. Знайти інтеграли:

а) ; б) ; в) г)

Розв’зання.

а) Оскільки n — ціле додатне непарне число, то застосовуємо заміну sinx = t. Але перш, ніж її застосувати помножимо чисельник і знаменник підінтегральної функції на cosx.

Отриманий дріб легко розкладається на суму найпростіших дробів:

б) Оскільки m — ціле додатне непарне число, те застосовуємо заміну cosx =t. Але перш, ніж її застосувати варто перетворити підінтегральну функцію.

в) Щоб спростити підінтегральну функцію, попередньо виконаємо заміну змінної

,

а потім застосуємо формулу зниження степеня:

г) Оскільки m+n — є парне від’ємне ціле число, те застосовуємо заміну tgх = t.

2. Інтеграли типу обчислюються за допомогою відомих формул тригонометрії:

Приклад 3.19. Знайти інтеграл

Розв’зання.

Безпосередньо підставляючи формулу добутку синусів, одержуємо:

Лекція 10. Визначений інтеграл

10.1. Основні поняття

Означення 1. Якщо функція визначена на відрізку і – розбиття відрізка з відзначеними точками , то сума називається інтегральною сумою функції , відповідної розбиттю з відзначеними точками .

Означення 2. Число називається визначеним інтегралом (Рімана) від функції на відрізку , якщо таке, що для будь-якого розбиття з відзначеними точками , для виконано співвідношення

Позначення

Теорема 1. Неперервна на відрізку функція  – інтегровна.

Властивості визначеного інтеграла

1. (Лінійність). Якщо і функції , які інтегровні на відрізку , то функція , де , функція, що так само інтегровна, і

2. (Аддитивність). Якщо і інтегровна на відрізку то інтегровна і на відрізках , і при цьому

.

3. (Монотонність). Якщо і функції інтегруються на відрізку і , то

.

Наслідок 1. Якщо на відрізку , то

Наслідок 2. Якщо функція неперервна на відрізку , то для деякого .

10.2. Методи обчислення визначеного інтеграла

Теорема 2. (Барроу). Нехай функція неперервна на відрізку . Тоді

.

З теореми слідує, що - первісна функції . Оскільки всі первісні відрізняються на константу, то Підставивши замість , знайдемо значення константи.

Отже, і, вважаючи в цьому інтегралі маємо .

Формулу

називають формулою Ньютона-Лейбніця.

Згідно з формулою Ньютона-Лейбніця ввизначений інтеграл дорівнює різниці між значенням первісної на верхній границі (межі) інтегрування й значенням первісної на нижній границі інтегрування.