Розв’язання

Приклад 3.6. Знайти інтеграл .

Розв’язання

.

Можна також використовувати і такий запис:

Приклад 3.7. Знайти інтеграл .

Розв’язання.

Приклад 3.8. Знайти інтеграл .

Розв’язання. Виділивши повний квадрат у знаменнику підінтегральної функції, зможемо застосувати відповідну формулу із таблиці інтегралів. Одержимо

Приклад 3.9. Знайти інтеграл .

Розв’язання. Розглянемо різницю двох інтегралів і до кожного із них застосуємо відповідну формулу із таблиці інтегралів. Одержимо ,

.

Приклад 3.10. Знайти інтеграл .

Розв’язання. Часто доводиться вводити заміну для спрощення обчислення інтегралу. Замінимо на нову змінну. Одержимо

Зауваження. Метод заміни змінної можна використовувати й у деяких інших випадках. Вони будуть розглянуті далі.

9.5. Інтегрування частинами

Цим методом у деяких випадках вдається про інтегрувати добуток або частку функцій.

Формула інтегрування частинами має вигляд:

(3.5)

Корисні такі рекомендації.

1. Якщо підінтегральна функція представляє собою добуток алгебраїчної функції на показникову або тригонометричну функцію, то проміжною змінною u треба позначати алгебраїчну частину.

2. Якщо підінтегральна функція представляє собою добуток алгебраїчної функції на логарифмічну або обернену тригонометричну функцію, то змінною u треба позначати неалгебраїчну частину.

Приклад 3.11. Знайти інтеграл

Розв’язання. Відповідно до рекомендації 1 зазначимо . Щоб інтеграл прийняв вид , зазначимо .

Щоб скористатися формулою (3.5) треба знайти і , тому рівняння продиференціюємо, а в рівнянні знайдемо первісну. Будемо мати: , .

За формулою (3.5) одержимо:

Приклад 3.12. Знайти інтеграл

Розв’язання. Рекомендація 1 нічого не дасть. Дійсно, якщо позначати , , то . Цей інтеграл ми знайти не зможемо.

Скористаємося рекомендацією 2. Розв’язання можна оформити у такий спосіб:

Зауваження. Іноді інтегрування частинами доводиться застосовувати в одному прикладі декілька разів.

Приклад 3.13. Знайти інтеграл .

Розв’язання.

Приклад 3.14. Знайти інтеграл .

Розв’язання. Для знаходження інтеграла застосуємо формулу (3.5). Одержимо

9.6. Інтеграли від виразів з квадратним тричленом

При обчисленні інтегралів виду і з квадратного тричлена виділяють повний квадрат і його позначають через (метод заміни змінної).

Приклад 3.15. .

Розв’зання. Виділяємо із квадратного тричлена повний квадрат

Вважаючи , найдемо , . Будемо мати

9.7. Інтеграли від деяких ірраціональних функцій

Інтеграли від деяких ірраціональних функцій, які мають корені різних степенів від однієї і тієї ж функції, можна знайти, якщо замінити підкореневий вираз новою змінною зі степенем з показником найменшого спільного кратного показників степенів всіх коренів. Розглянемо приклади.

Приклад 3.16. Знайти невизначений інтеграл

Розв’зання.

У відповіді доданок віднесено до постійної інтегрування С. Враховано так само, що

Приклад 3.17. Знайти інтеграл .

Розв’зання.

В даному випадку позбудемось від ірраціональності заміною