8.2. Екстремум функцій двох змінних

Поняття екстремуму (максимуму і мінімуму) для функцій багатьох змінних аналогічне поняттю для функції однієї змінної.

Точка для функції називається точкою максимуму, якщо для довільних точок із її околу виконується умова і точкою мінімуму, якщо .

Необхідними умовами існування екстремуму функції в точці є умови

. (2.22)

Визначник виду

(2.23)

для функції називається визначником Гессе або гессіаном.

Достатньою умовою існування екстремуму функції в критичній точці є умова , і якщо , то точка є точкою максимуму, а у випадку – точкою мінімуму. У випадку, коли , ця умова є достатньою умовою відсутності екстремуму в критичній точці . Сумнівним є випадок . Тоді необхідні додаткові дослідження.

Приклад 2.58. Знайти екстремуми функції .

Розв’язання. Знайдемо частинні похідні першого порядку: . В силу умови (2.22) прирівнюємо ці похідні до нуля і, розв’язавши систему рівнянь, знаходимо критичні точки функції.

Одержали такі критичні точки: і .

Знайдемо частинні похідні другого порядку: . Підставимо ці похідні у визначник Гессе (2.23). Одержимо

.

Обчислимо значення цього визначника в кожній точці:

1) ,

– точка мінімуму;

2) ,

в точці відсутній екстремум;

3) ,

в точці відсутній екстремум;

4) ,

– точка максимуму.

Обчислимо значення екстремумів функції.

Відповідь. .

Метод найменших квадратів

Як приклад на застосування екстремуму функції двох змінних розглянемо метод найменших квадратів при побудові емпіричних формул.

Нехай є набір експериментальних (статистичних) значень величини та, відповідних їм, значень залежної величини і відомо, що залежність між у і x має лінійний вид , в якій нам невідомі параметри і .

Якщо визначити параметри і за двома експериментальними точками, наприклад, і , а потім скористатися цими значеннями для інших_, то побачимо, що, в загальному випадку, не дорівнює результату експерименту , тобто формула дає розбіжність з експериментом, отриману за рахунок помилок експерименту і обчислень, неточної лінійності залежності, що вивчається, і т.п. Ця різниця між лівою і правою частинами формули називається нев'язністю.

Мета методу найменших квадратів – знайти такі і , щоб сума квадратів цієї нев'язності була мінімально можливою.

Зауваження. Можна брати в суму інші парні степені або, наприклад, суму абсолютних величин нев'язності, але тоді обчислення значно складніше. Проте керуватися сумою самої нев'язності, звичайно, не можна, оскільки вона може вийти малою при великих за абсолютною величиною доданках різного знака.

Ми приходимо до задачі на мінімум функції

. (2.24)

Перше, необхідні умови наявності екстремуму

(2.25)

Друга, достатня умова виконується автоматично для даного виду суми, оскільки сума квадратів завжди має мінімум!

(2.26)

Для знаходження і отримали просту систему двох рівнянь першого степеня з двома невідомими, оскільки всі та задано, яку легко розв'язатити.

Приклад 2.59. Знайти рівняння прямої методом найменших квадратів, користуючись таблицею значень

.

Розв’язання. Згідно методу найменших квадратів для знаходження параметрів і прямої використовують систему рівнянь:

Для простоти складання системи (2.26) складемо таблицю значень:

Відповідь. Рівняння прямої має вигляд .