Найбільше і найменше значення функції на відрізку

Нехай функція неперервна на відрізку . Як відомо, така функція досягає своїх найбільшого і найменшого значень. Ці значення функція може приймати або у внутрішній точці відрізка , або на границі відрізка, тобто при або . Якщо , то її слід шукати серед критичних точок даної функції (див. рис. 2.14).

Рис. 2.14

Одержуємо наступне правило знаходження найбільшого і найменшого значень функції на :

1) знайти критичні точки функції на інтервалі ;

2) обчислити значення функції в знайдених критичних точках;

3) обчислити значення функції на кінцях відрізку, тобто при або ;

4) серед всіх обчислених значень функції вибрати найбільше і найменше.

Зауваження: 1. Якщо функція на відрізку має лише одну критичну точку і вона є точкою максимуму (мінімуму), то в цій точці функція приймає найбільше (найменше) значення. На рисунку 6 і

2. Якщо функція на відрізку не має критичних точок, то це означає, що на ньому функція монотонно зростає або спадає. Отже, своє найбільше значення функція приймає на одному кінці відрізка, а найменше— на іншому.

Приклад 2.55. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку .

Розв’язання. Функція може досягати свого найбільшого та найменшого значення або на кінцях відрізка, або у критичних точках, якщо вони знаходяться у середині відрізка. Знайдемо критичні точки функції і розглянемо тільки ті, які потрапляють в інтервал .

.

Обчислимо значення функції у критичних точках та на кінцях відрізка. Одержимо:

;

;

; .

Відповідь. – найбільше значення функції; – найменше значення функції на відрізку.

8. Функції багатьох змінних

8.1 Частинні похідні і повний диференціал

Функцією двох змінних називається правило (відповідність), по якому кожній парі чисел відповідає єдине число . Множина – область визначення функції, а – множина значень функції.

Для функцій двох та багатьох змінних , розглянемо частинні похідні.

Частинною похідною функції по одній змінній називають скінченну границю виду:

де та – частинний приріст функції по одній змінній.

Повним диференціалом функції багатьох змінних називається головна лінійна частина приросту функції. Для функції повний диференціал має вигляд

.

Повний диференціал функції багатьох змінних застосовується до наближених обчислень, вважаючи, що .

Частинні похідні знаходяться за правилами та формулами диференціювання функції однієї змінної, вважаючи решту змінних сталими величинами.

Частинною похідною n-го порядку функції багатьох змінних по одній змінній називають першу похідну від -ї похідної.

Приклад 2.56. Знайти частинні похідні другого порядку функції

.

Розв’язання. Знайдемо частинні похідні першого порядку по кожній змінній:

Від кожної частинної похідної першого порядку та знайдемо першу похідну по кожній змінній. Це будуть частинні похідні другого порядку і їх буде чотири:

Мішані похідні, які відрізняються порядком диференціювання, , рівні між собою. Ця умова виконується у випадку їх неперервності.

Приклад 2.57. Знайти , якщо .

Розв’язання. Знайдемо частинну похідну функції тільки по або по , а потім від неї знайдемо першу похідну по іншій змінній. Одержимо