Лекція 7. Дослідження функцій і побудова графіків

7.1. Інтервали монотонності і екстремум функції

Достатня умова зростання та спадання функції на інтервалі.

якщо в усіх точках деякого інтервалу перша похідна , то функція на цьому інтервалі не спадає. якщо у всіх точках деякого інтервалу перша похідна , то функція на цьому інтервалі не зростає.

Неперервна на інтервалі зростаюча або спадна функція називається монотонною (рис. 2.7, 2.8).

Рис. 2.7 і 2.8 ілюструють той факт, якщо функція у = f(x) зростає (спадає), то похідна . Дійсно, на рис. 2.7 функція зростає і -кут нахилу дотичної гострий, тобто f'(x) = tg > 0. А на рис. 2.8 функція спадає і  - кут нахилу дотичної  тупий, тобто .

Рис. 2.7 Рис. 2.8

Таким чином, для того, щоб знайти інтервали зростання (спадання) функції, треба знайти похідну і розв’язати нерівність . При цьому необхідно враховувати область визначення функції.

Приклад 2.49. Знайти інтервали монотонності функції .

Розв’язання. Функція, що розглядається, многочлен. Тому область визначення функції , в якій вона неперервна. Знаходимо похідну функції

.

Прирівнюємо похідну до нуля для того, щоб визначити критичні точки, у яких похідна розглянутої функції дорівнює нулю.

Критичні точки поділяють область визначення функції на інтервали, в яких похідна не змінює знак. Відомим зі школи методом інтервалів визначаємо знак похідної і тим самим визначаємо інтервали зростання та спадання функції (рис. 2.9).

Рис. 2.9

При , у' >0, і функція зростає. при і функція спадає. Таким чином, розглянуті інтервали будуть інтервалами монотонності.

Екстремум функції.

	Точки з області визначення функції, у яких у' = 0, або у' = , або у' не існує (як скінченна, так і нескінченна), називаються критичними точками І-го порядку. Критичні точки повинні належати області визначення функції.
Якщо для всіх значень точок х з деякого околу точки виконується нерівність , то називають точкою локального максимуму. Якщо для всіх значень точок х з деякого околу точки виконується нерівність , то називають точкою локального мінімуму.
Мінімум та максимум функції називають її екстремумами.

Розглянемо необхідну та достатні ознаки екстремуму функції.

Необхідна ознака екстремуму. В точках з області визначення функції, у яких

у' = 0, або у' не існує, може бути екстремум.

Не в кожній критичній точці обов'язково буде екстремум. Ці точки треба досліджувати за одним з наступних правил (достатні ознаки екстремуму).

Достатні ознаки екстремуму.

1. Якщо при переході через критичну точку х₀ похідна змінює знак (зліва) з плюса на мінус (справа), то х₀ - точка максимуму (відбувається перехід зі зростання на спадання). Якщо похідна змінює знак з мінуса на плюс, то х₀ - точка мінімуму (відбувається перехід зі спадання на зростання). Якщо похідна знак не змінює, то в точці х₀ екстремума немає.

2. Якщо в критичній точці х₀ від’ємна друга похідна, тобто , то х₀ - точка максимуму. Якщо ж , то х₀ - точка мінімуму. Якщо , то в точці х₀ екстремума немає.

Приклад 2.50. Знайти точки екстремуму функції .

Розв’язання. Знаходимо першу похідну функції:

.

Критичні точки знайдемо з умови у' = 0:

Визначимо знак похідної при переході через критичні точки (таблиця 1) за першою достатньою ознакою екстремуму.

Таблиця 1

х		0		1		2
	-	0	+	0	-	0	+
у		min		max		min

Отже, x₁ = 0, х₂ = 2 - точки мінімуму, х = 1 - точка максимуму. Визначимо їх величини:

:

.

Зауважимо, що в таблиці містяться також інтервали монотонності функції, на які поділяється вся вісь ОХ критичними точками. У таблицю варто включати і точки розриву, але дана функція неперервна при будь якому х.

Приклад 2.51. Знайти екстремуми функції за допомогою другої похідної.

Розв’язання. Перша похідна:

.

Знаходимо критичні точки, у яких перша похідна .

Це лише одна точка .У точці х=0 похідна не існує.

Друга похідна:

.

.