5. Похідні вищих порядків

Похідна функції y = f(x), в загальному випадку , також є функцією, тому її також можна диференціювати. В результаті одержимо функцію, що називається похідною другого порядку або другою похідною функції f(x).

Її позначають одним із символів: у" , .

Читається: у" - (ігрек два штрих), - (де два ігрек по де ікс квадрат).

Якщо S = f(t) - закон прямолінійного руху точки, то, за визначенням, прискорення руху в момент часу t дорівнює другій похідній . Це означення природно відображає суть прискорення як швидкість зміни швидкості.

Диференціюючи похідну другого порядку, одержимо похідну третього порядку або третю похідну.

Її позначають одним із символів: . Читається: - (ігрек три штрих), - (де три ігрек по де ікс куб).

Похідна п-го порядку – це похідна від похідної (п - 1)-го порядку.

Позначення:

.

Позначення за допомогою штрихів вживаються до похідної 3-го порядку. Далі застосовують позначення:

або .

Приклад 2.43. Зайти другу похідну від функції: .

Розв’язання. Перша похідна:

Вона представляє собою добуток сталої величини та двох функцій від х Тому

Приклад 2.44. знайти другу похідну від функції:

.

Розв’язання.

Перша похідна:

.

Приклад 2.45. знайти четверту похідну від функції:

.

Розв’язання. , , ,

.

Приклад 2.46. знайти похідну четвертого порядку від функції: .

Розв’язання.

Зауваження. Функція має похідну будь-якого порядку.

2.6. Диференціал

Диференціалом функції в точці х називається добуток похідної функції в цій точці на приріст аргументу: (2.17)

Диференціал функції - це умовний приріст, якого функція набула б на відрізку за умови, що вона змінюється в інтервалі рівномірно, зберігаючи ту швидкість, що мала на початку інтервалу. У цьому полягає суть диференціала.

Знайдемо диференціал функції . Маємо . Таким чином, диференціал аргументу дорівнює приросту аргументу, тобто диференціал функції можна записати у вигляді dy = y'dx.

Диференціал функції у вигляді dy = y'dx застосовується набагато частіше. Це пов’язано з тим, що записаний у вигляді dy = y'dx диференціал має важливу властивість інваріантості, яка полягає у тому, що форма диференціалу dy = y'dx не залежить від того, чи є х незалежною змінною чи залежить від іншого аргументу.

Приклад 2.47. Знайти диференціал функції:

Розв’язання. Знаходимо похідну функції

Розглянемо співвідношення між приростом функції і її диференціалом при . З визначення похідної випливає, що

або (2.18)

при . - нескінченно мала вищого порядку малості у порівнянні не тільки з , але і з , тому диференціал є головною частиною приросту функції. На цьому засновано використання диференціалу для наближених обчислень:

. (2.19)

Приклад 2.48. обчислити наближено .

Розв’язання. Представимо Використаємо як математичну модель функцію . За формулою (2.17) отримуємо:

.

Приймаємо , та .