3. . Неявна функція та її диференціювання

Якщо функція у і аргумент х пов'язані рівнянням f(x,y) = 0, нерозв’язаним відносно у, то таке рівняння визначає неявну функцію у(х).

Наприклад, рівняння у³ - х² =0 неявно визначає функцію . Тут можна розв’язати рівняння відносно у, але в багатьох випадках це неможливо (наприклад, ). Неявна функція - це не новий вид функції, а просто спосіб її задання.

Треба знайти похідну неявної функції, не знаходячи у у явному виді. Для цього диференціюють обидві частини рівняння f(x,y)=0 (або f(x, у)=(х, у), враховуючи при цьому, що у є функція від х, і з отриманого співвідношення знаходять у'.

Приклад 2.39. знайти похідну від функції заданої неявно _.

Розв’язання.

Функцію задано в неявному виді. Диференціюємо обидві частини рівняння, пам’ятаючи, що є функцією аргументу :

_{Розв’язуємо рівняння відносно у′; ;} ,

Приклад 2.40. знайти похідну від функції заданої неявно .

Розв’язання.

Диференціюємо обидві частини рівняння і, з огляду на те, що у є функцією від х. Маємо: .

Звідси ; .

Приклад 2.41. знайти похідну від функції, заданої неявно .

Розв’язання. Диференціюємо, враховуючи, що у є функцією від х. Маємо: .

Контрольний тест.

Знайдіть похідні функцій, заданих неявно наступними рівняннями.

	Функція	Відповіді		Функція	Відповіді
1			2
3			4

4. Логарифмічне диференціювання

для знаходження похідної від степенево-показникової функції , де функції диференційовані по х, необхідно спочатку функцію прологарифмувати, а потім продиференціювати, вважаючи у складною функцією. Отримане рівняння розв’язують відносно . Така операція називається логарифмічним диференціюванням.

Приклад 2.41. знайти похідну від функції: .

_{Розв’язання. Це степенево – показникова функція. Логарифмуємо}

_, . Вважаючи неявно заданою функцією, знаходимо похідні лівої та правої частин рівняння. В лівій частині міститься функція ln(y), а в правій - добуток двох функцій, і для його диференціювання потрібно використати формулу похідної добутку

.

Знайдемо , причому записуємо у заданому вигляді

Логарифмічне диференціювання доцільно застосовувати до функції, що містить операції, які логарифмуються: множення, ділення, піднесення до степеня.

Приклад 2.42. знайти похідну від функції:

Розв’язання. Використання звичайних формул і правил диференціювання в даному випадку приведе до громіздких викладок. Тут доцільно застосувати логарифмічне диференціювання. Логарифмуємо обидві частини даної рівності:

Одержали неявну функцію. Диференціюємо обидві частини рівності, з огляду на те, що ln у є складною функцією від х, та у залежить від х:

Звідси знаходимо: