Означення похідної

Нехай – деяка функція, задана на інтервалі (а,b). Візьмемо довільну точку з цього інтервалу. Обчислимо значення функції в цій точці Додамо аргументу приріст такий, що точка й обчислимо нове значення функції .

Рис. 5

Обчислимо приріст функції

.

Якщо існує границя відношення при , то ця границя називається похідною функції в точці і позначається або або або — (читається: де ігрек по де ікс).

(2.12)

обчислення похідної називають диференціюванням. Якщо похідна функції в точці існує, то функція називається диференційовною у точці . Якщо функція диференційована в кожній точці деякого проміжку, то вона називається диференційованою на цьому проміжку.

Поняття похідної дозволяє характеризувати поведінку функції.

Необхідна умова диференційовності функції

У виразі для похідної при знаменник наближається до нуля. Але якщо при і , то функція є неперервною в точці х по визначенню неперервності в точці.

Якщо функція диференційовна в точці х, то вона в цій точці неперервна. Неперервність функції в точці х означає також, що існує границя справа та існує границя зліва , причому, ці границі співпадають.

2.2. Основні формули та правила диференціювання.

Приведемо формули і правила диференціювання

Основні формули диференціювання

Функція	Похідна	Функція	Похідна
, де с=const

2. Основні правила диференціювання

1. де .

2. .

3. (uv)’ =u'v + uv'.

Останнє правило поширюється на добуток п співмножників: похідна добутку п функції дорівнює добутку похідної першого співмножника на всі інші плюс добуток похідної другого співмножника на всі інші плюс і т.д., плюс добуток похідної п -го співмножника на всі інші:

4. ; .

Похідна складної функції , де , тобто , дорівнює добутку похідної даної функції по проміжному аргументу на похідну проміжного аргументу по _:

_(2.13)

Аналогічне правило має місце й у випадку, коли складна функція задана ланцюжком, що містить три і більш ланки. Наприклад, якщо , то:

_(2.14)

Приклад 2.35. Знайти похідну функції .

Розв’язання. Спочатку знаходимо похідну від логарифму, враховуючи, що проміжним аргументом є . Отримуємо . Подумки закреслюємо вираз та бачимо вираз . Диференціюємо синус (проміжним аргументом в даному випадку є ). Отримуємо . Подумки закреслюємо вираз , та бачимо вираз . Диференціюємо корінь: . Залишається х, похідна від якого дорівнюється одиниці. Тепер запишемо у вигляді добутку всіх проміжних результатів:

Для правильного вибору першої (основної) функції рекомендуємо таке правило: нею буде та функція, яка виконується останньою (виключення складає показникова функція).

Приклад 2.36. Знайти похідну функції .

Розв’язання. За формулою (2.14) та використовуючи таблицю основних формул диференціювання маємо:

Рекомендуємо для зменшення громіздких записів наступний прийом, що дає можливість проводити роздроблення складної функції на ланки усно і записати вираз для похідної відразу.

Приклад 2.37. Знайти похідну функції: .

Розв’язання. подумки виконуємо диференціювання спочатку , потім , та .

результат: .

Зауваження 1. Варто пам'ятати, що на кожній стадії диференціюється тільки один вид функції. Так, диференціюючи функцію , ми спочатку диференціюємо тільки корінь кубічний, а потім лише .

Типова помилка полягає в тому, що відразу диференціюють кілька функцій (невірний результат).

Зауваження 2. Зустрічаються функції, які доцільно спочатку спростити, а потім диференціювати. Так, якщо , то після того, як ми функцію логарифмуємо та запишемо у вигляді , диференціювання істотно спроститься.

Приклад 2.38. Знайти рівняння дотичної і нормалі до параболи

у точці, де х = 2.

Розв’язання. Відповідно до геометричного змісту похідна функції в точці дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіка функції в цій точці. Рівняння дотичної до кривої у точці М(х₀,у₀):

(2.15)

Перпендикуляр АВ до дотичної в точці М називається нормаллю до кривої в цій точці. З огляду на умову перпендикулярності прямих ( ), рівняння нормалі запишеться у виді:

(2.16).

Абсцисі х = 2 відповідають ординати , так що треба знайти рівняння дотичної і нормалі в точці М(2, 0). Знаходимо у' . У точці М(2, 0) у'=1.

За формулою (2.15) рівняння дотичної має наступний вид у точці М: .

Рівняння нормалі у точці А знайдемо за формулою (2.16): .

Контрольний тест. Знайти похідні функцій:

Функція	Похідна	Функція	Похідна
1.		2.
3.		4.
5. при х=1	4	6. при х=1	0