4. Неперервність функції

Неперервність функції в точці і на відрізку

Функція f(x) називається неперервною в точці х0, якщо вона визначена в точці х0, тобто існує f(x0), існує границя функції при х, що прямує до х0, тобто , границя функції в точці х0 дорівнює значенню функції в точці х0, тобто .

Сформульоване означення неперервності функції випливає з поняття границі функції. Приведемо означення неперервності функції, еквівалентне попередньому, засноване на понятті нескінченно малої величини.

Дамо аргументу х₀ приріст , тоді функція у= f(x) одержить приріст у= f(x₀+ ) – f(x₀) .

Функція f(x) називається неперервною в точці х0, якщо вона визначена в цій точці і нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції у, тобто .

Зауваження. Означення неперервності функції f(x) у точці х₀ може бути записане так , тобто для неперервної функції можливе переставляння символів границі і функції.

Властивості функцій, неперервних у точці.

1. Якщо функції f(x) і (x) неперервні в точці х₀, то їхня сума f(x) + (x), добуток f(x)(x) і частка ((x₀) 0) є функціями, неперервними в точці х₀.

2. Якщо функція у = f(x) неперервна в точці х₀ і f(x₀) > 0, то існує такий окіл точки х₀, у якому f(x) > 0.

3. Якщо функція у = f(u) неперервна в точці u₀, а функція u = (x) неперервна в точці u₀ = (x₀), то складна функція у = f((x)) неперервна в точці х₀.

Якщо хоча б одне з трьох умов визначення неперервності функції не виконується, то функція f(x) називається розривною у точці х0, а точка х0 називається точкою розриву.

Функція неперервна в кожній точці деякої області (інтервалу, відрізку) називається неперервною в цій області (в інтервалі, на відрізку).

Властивості функцій, неперервних на відрізку

Якщо функція f(x) неперервна на відрізку, то вона обмежена на цьому відрізку.

Якщо функція f(x) неперервна на відрізку, то вона досягає на цьому відрізку найбільшого і найменшого значень.

Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a, b] і значення на кінцях відрізка f(a) і f(b) мають протилежні знаки, то усередині відрізка знайдеться точка с (a,b) така, що f(с) = 0.

Приклад 2.29. Дослідити неперервність функції f(x) = у точці х = 1. Побудувати графік функції.

Розв’язання. У точці х = 1 функція f(x) = має розрив, оскільки порушена перша умова неперервності – існування f(1), що видно з рис. 2.1.

рис.2.1. Графік функції f(x) = .

Приклад 2.30. Дослідити неперервність у точці х = 0 функції

f(x) = .

Розв’язання. У точці х = 0 функція f(x) = має розрив, оскільки порушена друга умова неперервності – відсутня границя функції при х, яке наближається до х₀=0, тобто , однак існують однобічні границі функції ліворуч і праворуч . (рис.2.2).

Рис. 2.2. Графік функції f(x) = .

Приклад 2.31. Дослідити неперервність у точці х = 0 функції

f(x) = . Побудувати графік функції.

Розв’язання. У точці х = 0 функція f(x) = має розрив , оскільки порушена третя умова неперервності – границя функції при х, яке наближається до х₀ не дорівнює значенню функції в точці х₀, тобто (рис. 2.3). При цьому перша умова неперервності виконана, тому що f(0) існує і f(0) = 1, друга умова неперервності виконана, тобто існує границя функції при х яке наближається до х₀, тобто .

Рис. 2.3

Приклад 2.32. Дослідити неперервність у точці х = 0 функції f(x) = . Побудувати графік функції.

Розв’язання. У точці х = 0 функція f(x) = неперервна, оскільки виконані всі три умови неперервності = 0, що видно з рис. 2.4.

Рис. 2.4 – Графік функції f(x) = .