Порівняння нескінченно малих

якщо f(x) і (x) – нескінченно малі при xа, причому а може бути як числом, так одним із символів , тоді справедливі наступні визначення.

Якщо , то f(x) називається нескінченно малою вищого порядку малості, у порівнянні з функцією (x), а функція (x) називається нескінченно малою нижчого порядку малості, у порівнянні з f(x).

Якщо , то f(x) називається нескінченно малою нижчого порядку малості, у порівнянні з (x), а (x) називається нескінченно малою вищого порядку малості, у порівнянні з функцією f(x).

Якщо і , то нескінченно малі f(x) і (x) називаються нескінченно малими одного порядку.

Якщо , то нескінченно малі f(x) і (x) називаються еквівалентними. Позначення f(x) ~ (x).

Якщо і , то f(x) називається нескінченно малою k-го порядку малості, у порівнянні з (x).

Границя відношення двох нескінченно малих не зміниться, якщо кожну з них або яку-небудь одну замінити еквівалентними ним.

При обчисленні границь функцій зручно користатися такими основними еквівалентностями.

Основні еквівалентності при

, , , ,

, , .

Приклад 2.17. Довести, що функції і при x  0 є нескінченно малими одного порядку.

Розв’язання. Знайдемо границю відношення заданих функцій:

.

Таким чином, дані функції є нескінченно малими одного порядку.

Приклад 2.18. Чи є еквівалентними функції і при x  0?

Розв’язання. Знайдемо границю відношення цих функцій:

.

Таким чином, функція є нескінченно малою більш високого порядку, ніж функція , тобто дані функції не еквівалентні.

Приклад 2.19. Довести, що нескінченно малі функції і при x0 є еквівалентними.

Розв’язання. Очевидно, що . Отже, і при x  0 еквівалентні.

3. Визначні границі

Перша визначна границя.

При обчисленні границь тригонометричних виразів часто використовують формулу

. (2.5)

Формула (2.5) називається першою визначною границею і застосовується для розкриття невизначеностей виду .

Справедливі наступні відношення:

, , . (2.6)

Приклад 2.20. Знайти границю .

Розв’язання. При х 0, 7х також прямує до нуля, тому, помноживши чисельник і знаменник на 7, одержимо

.

Зауваження. Вирази

називаються робочими формулами першої визначної границі.

Приклад 2.21. Знайти границю: .

Розв’язання. Використовуємо робочу формулу першої визначної границі та знаходимо квадрат границі, отримуємо:

.

Приклад 2.22. Знайти границю .

Розв’язання. При х 0, маємо невизначеність тому, замінюючи еквівалентним , отримуємо:

.

Приклад 2.23. Знайти границю .

Розв’язання. за формулою (2.5), тому що при .

Друга визначна границя

Вираз

(2.7)

називається другою визначною границею. число e ірраціональне. Наближене значення e  2,7182818. Співвідношення (2.7) можна записати у виді

. (2.8)

Другу визначну границю застосовують при розкритті невизначеності .

Приклад 2.24. Знайти границю .

Розв’язання. При х , маємо невизначеність тому, перетворюючи вираз, що знаходиться під знаком границі, одержимо

.

Зауваження. Вирази:

,

. (2.9)

є робочими формулами другої визначної границі.

Приклад 2.25. Знайти границю _.

Розв’язання. При х , маємо невизначеність . використовуємо властивість .

Приклад 2.26. Знайти границю .

Розв’язання. Спочатку перетворимо вираз, що стоїть під знаком границі, використовуючи властивості логарифмів

Приклад 2.27. Знайти границю .

Розв’язання. При х 0, маємо невизначеність тому, виконавши перетворення з використанням властивостей логарифмів, одержимо

.

Приклад 2.28. Знайти границю .

Розв’язання. При х 0, маємо невизначеність тому переходимо до нової змінної: