Міністерство освіти і науки України
Донецький національний університет економіки і торгівлі
імені Михайла Туган-Барановського
Кафедра вищої і прикладної математики
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЕКОНОМІСТІВ
(вища математика)
Курс лекцій
для студентів економічних спеціальностей
(ФІН, ОА, БС, ЕП, МЕ)
Автори: Щетініна О.К., Шепеленко О.В.,
Фоміна Т.О., Скрипник С.В., Латинін С.М, Фортуна В.В.
2011
ЗМІСТ
Елементи лінійної алгебри та аналітичної геометрії ... |
4 |
Лекція 1. Визначники та матриці |
4 |
1.1. Визначники…………………………................................................. |
4 |
1.2. Матриці……………………………………………………………… |
9 |
1.3. Обернена матриця………………………………………………… |
12 |
Лекція 2. Системи лінійних рівнянь……………………………………… |
16 |
2.1. Формули Крамера…………………………………………………. |
16 |
2.2. Метод оберненої матриці………………………………………… |
17 |
2.3. Метод Гаусса………………………………………………………... |
19 |
Лекція 3. Елементи векторної алгебри…………………………………… |
20 |
3.1. Лінійні операції з векторами…………………………………….. |
23 |
Лекція 4. Аналітична геометрія на площині………………………… |
27 |
4.1. Довжина відрізку та ділення відрізка ……………………….….. |
27 |
4.2 . Рівняння прямої……………………………………………………. |
28 |
4.3. Криві другого порядку…………………………………………….. |
33 |
Границі і диференціальне числення функцій ………… |
38 |
Лекція 5. Границі і неперервність……………………………………… |
38 |
5.1. Означення границі………………………………………………… |
38 |
5.2. Границя функції…………………………………………………… |
40 |
5.3. Визначні границі…………………………………………………… |
48 |
5.4. Неперервність функції……………………………………………. |
52 |
Лекція 6. Похідна і диференціал………………………………………… |
57 |
6.1. Означення похідної. Необхідна умова диференційовності функції……………………………………………………………… |
57 |
6.2. Основні формули та правила диференціювання…………… |
61 |
6.3. Неявна функція та її диференціювання………………………. |
65 |
6.4. Логарифмічне диференціювання……………………………… |
66 |
6.5. Похідні вищих порядків…………………………………………. |
67 |
6.6. Диференціал……………………………………………………….. |
69 |
Лекція 7. Дослідження функцій і побудова графіків……………….. |
71 |
7.1. Інтервали монотонності і екстремум функції……………….. |
71 |
7.2. Опуклість і угнутість графіка функції. Точки перегину….. |
74 |
7.3. Асимптоти кривої……………………………………………….... |
75 |
7.4. Загальна схема дослідження функції…………………………. |
77 |
Лекція 8. Функції багатьох змінних……………………………………………….. |
82 |
4.1. Частинні похідні і повний диференціал………………………. |
82 |
8.2 Екстремум функції двох змінних……………………………….. |
84 |
Інтегральне числення. ……………………………………... |
87 |
Лекція 9. Невизначений інтеграл…………………………………….. |
87 |
9.1. Поняття невизначеного інтеграла………………………………. |
87 |
9.2. Таблиця основних інтегралів……………………………………. |
88 |
9.3. Безпосереднє інтегрування……………………………………… |
89 |
9.4. Метод заміни змінної (метод підстановки)…..……………….. |
90 |
9.5. Інтегрування частинами…………………………………………. |
93 |
9.6. Інтеграли від деяких виразів з квадратним тричленом……... |
95 |
9.7. Інтеграли від деяких ірраціональних функцій……………….. |
96 |
9.8. Інтегрування деяких класів тригонометричних функцій…. |
97 |
Лекція 10. Визначений інтеграл…………………………………………… |
99 |
10.1. Основні поняття………………………………………………….... |
99 |
10.1. Методи обчислення визначеного інтеграла…..……….... |
100 |
Лекція 11. Застосування визначеного інтеграла……………………….. |
101 |
11.1. Обчислення площ плоских фігур…………………………….. |
101 |
Лекція 12. Невласні інтеграли………………………………………….. |
104 |
12.1. Невласні інтеграли першого роду………………………………. |
104 |
12.2. Невласні інтеграли другого роду………………………….. |
106 |
Диференціальні рівняння. Ряди. …….…………………. |
108 |
Лекція 13. Звичайні диференціальні рівняння………………………… |
108 |
13.1. Основні поняття………………………………………………… |
108 |
13.2. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними. |
110 |
13.3. Однорідні диференціальні рівняння……………………... |
112 |
13.4. Лінійні диференціальні рівняння………………………… |
114 |
13.5. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами…………………………… |
116 |
Лекція 14. Ряди……………………………………………………………...... |
118 |
14.1. Поняття числового ряду. Сума ряду………………………… |
118 |
14.2. Збіжність числових рядів. Необхідна ознака………………. |
119 |
14.3. Достатні ознаки збіжності……………………………………….. |
121 |
14.4. Знакопочергові ряди…………………………………………… |
124 |
14.5. Степеневі ряди………………………………………………… |
125 |
14.6. Формула Тейлора……………………………………………….. |
127 |
14.7. Використання рядів у наближених обчисленнях……….. |
130 |
Елементи лінійної алгебри і аналітичної геометрії.
Лекція 1. Визначники та матриці
Предметом розгляду лінійної алгебри для економістів є насамперед теорія систем лінійних рівнянь, які в загальному вигляді можна подати так:
(1.1)
Система
(1.1) називається системою
m лінійних рівнянь з n невідомими
(змінними),
де x1,
x2,
...,
xn
—
невідомі; aij
— коефіцієнти системи рівнянь; bi
— вільні члени, або праві частини системи
рівнянь. Якщо всі bi
=
0
,
то система лінійних рівнянь називається
однорідною.
Розв’язком системи рівнянь (1.1) є множина таких чисел k1, k2, ..., kn, у результаті підставляння яких замість відповідних невідомих x1, x2, ..., xn у кожне з рівнянь системи (1.1) останні перетворюються на правильні числові рівності.
Якщо система рівнянь не має жодного розв’язку, вона називається несумісною, а якщо має хоча б один розв’язок — сумісною. Сумісна система рівнянь називається визначеною, якщо вона має єдиний розв’язок, і невизначеною, якщо розв’язків більш як один.
Визначники
визначник
порядку
n
(детермінант) А-
це число, або алгебраїчний вираз записані
у вигляді квадратної таблиці чисел або
алгебраїчних виразів, що має n
рядків і n
стовпців. Записується визначник як
.
Числа, що утворюють визначник, називаються його елементами та позначаються подвійними індексами аi j, де I-номер рядка, j –номер стовпця.
Розглянемо спочатку системи рівнянь, в яких кількість невідомих і кількість рівнянь рівні між собою, тобто m = n. Нехай, наприклад, n = m = 2, тоді маємо систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими:
Визначником другого порядку називається вираз
. (1.2)
Приклад. 1.1
.
Якщо n = m = 3, то маємо систему трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими:
Визначником третього порядку називається вираз:
. (1.3)
Для запам’ятовування правила обчислення визначника третього порядку пропонуємо таку схему (правило трикутників):
Позначимо точками елементи визначника, тоді доданки зі знаком «плюс» — це добутки елементів a11, a22, a33, розміщених на головній діагоналі визначника, і добутки елементів a13, a21, a32 і a12, a23, a31, розміщених у вершинах рівнобедрених трикутників, основи яких паралельні головній діагоналі. Зі знаком «мінус» беруться доданки, що є добутками елементів a13, a22, a31, розміщених на сторонній діагоналі визначника, та у вершинах рівнобедрених трикутників, основи яких паралельні сторонній діагоналі визначника — a11, a23, a32 і a12, a21, a33.
Запропонуємо ще одне правило обчислення визначника третього порядку (правило Саррюса).
У початковому визначнику за третім стовпцем запишемо ще раз перший і другий стовпці:
Для знаходження визначника за цим правилом треба утворити зі знаком «плюс» алгебраїчну суму добутків елементів, розміщених на головній діагоналі визначника, і на діагоналях, паралельних їй, а зі знаком «мінус» — добутків елементів, розміщених на сторонній діагоналі, та на діагоналях, паралельних їй.
Визначник:
,
рядки якого є стовпцями попереднього визначника, є транспонованим щодо визначника (1.3).