§ 2.7. Предельный переход в неравенстве

Теорема 2.10. Справедливы следующие утверждения.

1. Если последовательности имеет предел и для всех справедливо неравенство , то .

2. Если последовательности и имеют предел и для всех справедливо неравенство , то .

Доказательство. 1. Пусть . Надо доказать, что . Предположим, что . Тогда из следствия к теореме 2.5 следует, что неравенство будет выполняться для всех , что противоречит условию теоремы. Случай рассматривается аналогично.

2. Из теоремы 2.6 вытекает, что предел последовательности существует и ее члены . Из 1-го утверждения теоремы 2.9 следует, что , поэтому , т.е. . ■

Теорема 2.11. (О трех последовательностях). Последовательности , , и удовлетворяют условиям:

1. при любом ; 2. .

Тогда .

Доказательство. Пусть — произвольное число. Так как , и , то из следствия к теореме 2.5 следует, что при всех . Из условий , и следствия к теореме 2.5 вытекает, что при всех . Если , то при всех справедливо неравенство , поэтому при всех справедливо неравенство . Теперь из теоремы 2.5 следует, что . ■

§ 2.8. Предел последовательности

Теорема 2.12. Если предел последовательности равен , и члены последовательности неотрицательны, то

.

Доказательство. Сначала рассмотрим случай, когда . Возьмем произвольное число , , и рассмотрим цепочку равносильных неравенств: .

Так как , то из следствия к теореме 2.5 следует, что неравенство справедливо при всех . Из следствия к теореме 2.5 и неравенства получаем, что неравенство справедливо при всех . Теперь неравенство

верно при всех . Из второго утверждения теоремы 2.5 следует, что .

Пусть теперь . Возьмем и рассмотрим цепочку равносильных неравенств: . Отсюда и из второго утверждения теоремы 2.5 следует, что неравенство справедливо при всех , т.е. . ■

Замечание. Если предел последовательности равен , и члены последовательности неотрицательны, то

.

Доказательство. .

Следствие. Справедливы утверждения:

а) Если , то ; б) .

Доказательство.

а) ;

б) При любом имеем следующую цепочку равносильных утверждений: , если , если .

Пример. 8.1. Вычислить предел последовательности .

Решение. Сначала преобразуем общий член последовательности, умножая числитель и знаменатель на выражение , а затем перейдем к вычислению предела, используя теорему 2.12:

. ●

Задачи

8.1. Найти предел последовательности :

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ;

з) ; и) ; к) .

8.2. Доказать, что если предел последовательности равен , то

.

§2.9. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

Бесконечно малые последовательности

Последовательность называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю, т.е. Среди бесконечно малых последовательностей отметим последовательности: .

Свойства бесконечно малых последовательностей

1. Если последовательность бесконечно малая, а последовательность является ограниченной, то является бесконечно малой последовательностью.

Доказательство. Из ограниченности последовательности следует, что при всех . Возьмем любое . Поскольку , то неравенство справедливо для всех . Теперь неравенство справедливо для всех , т.е. выполняется условие 2 теоремы 2.5. Значит .

2. , где бесконечно малая последовательность.

Доказательство.

, бесконечно малая . ■

Примеры

9.1. Найти предел последовательности .

Решение. Так как ограниченная последовательность, а , то из первого свойства бесконечно малых последовательностей следует, что

. ●

Теорема 2.13. Если , , и члены последовательности положительны, то — бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Так как , то можно взять настолько малым, чтобы выполнялось неравенство . Из условий , и следствия к теореме 2.5 вытекает, что при всех имеем верные неравенства . Следовательно, последовательность является убывающей, а также она ограничена снизу числом нуль. Поэтому эта последовательность имеет предел. Из 1-го утверждения в §5 вытекает, что последовательность тоже имеет предел.

Докажем, что . Если предположить, что , то

, (9.1)

так как предел подпоследовательности равен пределу последовательности (2-е утверждение в § 2.5). По условию , что противоречит равенству (9.1). Следовательно, . ■

Примеры

9.2. Найти предел последовательности :

a) , б)

Решение

а) Найдем предел последовательности . Так как , то

= .

Из теоремы 2.13 следует, что .

б) Найдем предел последовательности . Так как , то

= .

Из теоремы 2.13 следует, что . ●

Задачи

9.1. Найти предел последовательности :

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) .

Бесконечно большие последовательности

Среди неограниченных последовательностей выделяют бесконечно большие последовательности. Именно, последовательность называется бесконечно большой, если для любого неравенство справедливо при всех . В этом случае пишут . Если ее члены положительны (отрицательны), то пишут .

Замечание. Равносильны следующие утверждения:

1. или .+

2. Для каждого числа окрестность или бесконечно удаленной точки содержит члены последовательности при всех , где некоторое натуральное число.

Доказательство следует из цепочки равносильных утверждений:

или или при всех или при всех .▲

Последовательности , , — примеры бесконечно больших последовательностей, причем , , .

Бесконечно большая последовательность является неограниченной, но существуют неограниченные последовательности, которые не являются бесконечно большими. Например, последовательность является неограниченной, так как содержит подпоследовательность , но неравенство не выполняется для всех элементов с нечетными номерами.

Теорема 2.14. Последовательность , члены которой не равны нулю, является бесконечно большой тогда и только тогда, когда последовательность бесконечно малая.

Доказательство. Возьмем любое . Тогда число также произвольное число. Доказательство теоремы следует из следующей цепочки равносильных утверждений: последовательность бесконечно большая

справедливо при всех справедливо при всех число — предел последовательности последовательность бесконечно малая. ■

Следствия.

1. Если бесконечно большая последовательность, и число , то последовательность является бесконечно большой.

2. Если , то ;

Доказательство

1. Так как последовательность является бесконечно большой, то из теоремы 2.14 следует, что последовательность бесконечно малая. Для доказательства следствия достаточно установить, что последовательность бесконечно малая. Применяя теоремы 2.7 и 2.8, имеем:

.

2. Из теоремы 2.14 следует, что последовательность является бесконечно малой. Применяя теорему 2.12, имеем:

а) . ■

Примеры

9.3. Доказать, что последовательность является бесконечно большой.

Решение. Так как последовательность является бесконечно большой, а предел последовательности равен 3, то из следствия к теореме 2.17 следует, что последовательность является бесконечно большой.

9.4. Доказать, что последовательность является бесконечно большой.

Решение. Имеем: . Так как последовательность является бесконечно большой, а последовательность имеет предел, то из следствия к теореме 2.15 получаем, что последовательность является бесконечно большой. ●

Задачи

9.2. Доказать, что последовательность является бесконечно большой:

а) , б) , в) , г) , д) , е) .

9.3. Доказать, что если и , то

.

9.4. Доказать, что подпоследовательность бесконечно большой последовательности является бесконечно большой.

9.5. Последовательность ограничена, а последовательность . Доказать, что последовательность .

9.7. Доказать, что если , то .

9.8. Доказать, что если , то последовательность имеет наименьший (наибольший) элемент.

9.10. Доказать, что неограниченная последовательность содержит бесконечно большую подпоследовательность.