§ 2.6. Действия со сходящимися последовательностями
Теорема 2.6.
Если последовательности
и
имеют предел, то последовательность
имеет предел и
.
Доказательство.
Пусть
,
и произвольное
задано. Далее имеем:
.
Согласно условию
2 теоремы 2.5 неравенство
справедливо при всех
,
а неравенство
справедливо при всех
.
Обозначим через
.
Тогда при всех
неравенство
справедливо. Отсюда
и из замечания к теореме 2.5 следует, что
.
■
Пример
6.1. Найти предел
последовательности
.
Решение. Используя теорему 2.6, имеем:
.
●
6.2. Найти предел
последовательности
.
Решение. По теореме 2.6 имеем:
.●
Теорема 2.7.
Если
последовательности
и
имеют предел, то последовательность
имеет предел и
.
Доказательство.
Пусть
,
и произвольное
задано. Так как последовательность
имеет предел, то она ограничена, поэтому
при любом
.
Далее имеем:
.
Согласно теореме
2.5 неравенство
справедливо при всех
,
а неравенство
справедливо при всех
.
Если
,
то при всех
имеем:
.
Из замечания к
теореме 2.5 следует, что
.
■
Следствие
1.
Если
последовательность
имеет предел и
—
число, то последовательность
имеет предел и
.
Доказательство.
Последовательность
,
где
—
стационарная последовательность. Теперь
утверждение следствия вытекает из
теоремы 2.7. ■
Следствие 2. Если последовательность имеет предел, то
.
Доказательство.
Имеем следующую цепочку равенств:
.
■
Теорема 2.8.
Если
последовательность
имеет предел, равный
,
то
.
Доказательство.
1. Из следствия
к теореме 7: если
,
то
.
Из условия
и следствия к теореме 5 получаем:
при всех
.
Тогда при всех
верно
,
где
.
Теперь имеем
цепочку:
.
Так как по условию
,
то согласно условию 2 теоремы 5 неравенство
справедливо при всех
.
Теперь при всех
имеем:
.
Из замечания к
теореме 2.5 следует, что
.
■
Теорема 2.9.
Если
последовательности
и
имеют предел и
,
то последовательность
имеет предел и
.
Доказательство. Используя теоремы 2.7 и 2.8, имеем:
.
■
Замечание 1. При вычислении предела суммы, произведения или частного двух последовательностей очень часто нельзя сразу применить теоремы 2.6, 2.7 или 2.9, потому что слагаемые, сомножители или числитель и знаменатель дроби, не имеют предела. В этом случае надо так тождественными преобразованиями изменить сумму, произведение или частное, чтобы получилось выражение, к которому уже можно было бы применить теоремы 2.6, 2.7 или 2.9. ▲
Замечание 2.
.
Так как предел
последовательности
равен
,
и
,
,
то из теоремы 2.10
следует равенство
.▲
Примеры
6.3. Найти предел
последовательности: a)
,
б)
.
Решение. Применяя теоремы 2.6— 2.9, найдем:
а)
.
б)
.
в)
.
6.4. Доказать
расходимость последовательности
:
a)
;
б)
.
Решение
а) Подпоследовательность
.
Отсюда, применяя
теоремы 2.6-2.9:
.
Подпоследовательность
.
Отсюда,
применяя теоремы 2.6-2.9:
.
Две подпоследовательности сходятся к
разным пределам. Следовательно,
последовательность не имеет предела.
б) Подпоследовательность
имеет предел:
.
Подпоследовательность
имеет предел:
.
Две подпоследовательности сходятся к разным пределам. Следовательно, последовательность не имеет предела. ●
Задачи
6.1. Найти предел последовательности :
a)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
,
ж)
,
з)
,
и)
.
6.2. Найти предел последовательности :
а)
;
б)
;
в)
;
г) т.
6.3. Дано,
.
Найти: а)
;
б)
.
6.4. Доказать
расходимость последовательности
а)
;
б)
.
6.5. Последовательность
не имеет предела, если одна из
последовательностей имеет предел, а
другая последовательность не имеет
предела.