§ 2.5. Связь пределов последовательности и ее подпоследовательностей

1. Число является пределом последовательности

(5.1.)

тогда и только тогда, когда — предел подпоследовательности

. (5.2)

Необходимость. Пусть — произвольная окрестность точки . Так как — предел последовательности (5.1), то из условия 3 теоремы 2.5 следует, что вне окрестности находится лишь конечное число членов последовательности (5.1). По условию теоремы только элементов последовательности (5.2) не принадлежит последовательности (5.1). Следовательно, вне окрестности находится лишь конечное число членов последовательности (5.2). Теперь из условия 3 теоремы 2.5 следует, что число является пределом последовательности (5.2).

Достаточность доказывается аналогично. ■

Замечание. Из утверждения 1 следует, что при нахождении предела последовательности можно «отбросить» любое конечное число ее членов. ▲

2. Если предел последовательности равен , то предел любой ее подпоследовательности также равен .

Доказательство. Пусть — произвольная окрестность точки . Так как — предел последовательности , то из условия 3 теоремы 2.5 следует, что вне окрестности находится лишь конечное число ее членов. Подпоследовательность является частью последовательности , поэтому вне окрестности находится лишь конечное число членов подпоследовательности . Теперь из теоремы 2.5 следует, что . ■

Следствие. Последовательность расходится, если выполняется хотя бы одно из следующих условий.

а) Последовательность содержит две подпоследовательности, которые сходятся к разным пределам.

б) Последовательность содержит расходящуюся подпоследовательность.

Доказательство легко получается методом от противного. Если предположить, что последовательность сходится, то сейчас же вступаем в противоречие с утверждением 2. ■

3. Если последовательность есть объединение двух своих подпоследовательностей и , причем , то .

Доказательство. Пусть число . Так как , то из условия 3 теоремы 2.5 вне окрестности находится лишь конечное число членов последовательности . Ввиду и условия 3 теоремы 2.5 следует, что вне окрестности находится лишь конечное число членов последовательности .

По условию теоремы . Значит, вне окрестности находится лишь конечное число членов последовательности , поэтому условие 3 теоремы 2.5 выполняется. Отсюда вытекает, что . ■

Примеры

5.1. Доказать, что , если .

Решение. Возьмем произвольное число . Имеем следующую цепочку равносильных утверждений:

.

Теперь из второго утверждения теоремы 2.1 и второго утверждения теоремы 2.5 следует, что .

5.2. Доказать расходимость последовательности :

a) ; б) .

Решение

а) Последовательность содержит неограниченную подпоследовательность , которая расходится. Из второго утверждения следствия к свойству 3 следует, что последовательность расходится.

б) Последовательность содержит подпоследовательность

.

Кроме того, последовательность содержит стационарную подпоследовательность

.

Итак, последовательность содержит две подпоследовательности, которые сходятся к разным пределам. Из первого утверждения следствия к свойству 3 следует, что последовательность расходится.

5.3. Найти предел последовательности .

Решение. Последовательность является подпоследовательностью последовательности , так как . Из 3-го утверждения в § 2.5 и следует, что .

5.4. Найти предел последовательности

.

Решение. Данная последовательность является объединением двух подпоследовательностей, состоящих из четных и нечетных членов. Предел каждой из этих подпоследовательностей равен нулю. Из свойства 4 вытекает, что предел последовательности равен нулю.

5.5. Доказать, используя второе утверждение теоремы 2.5, что , если .

Решение. При любом имеем цепочку равносильных утверждений:

.

Теперь из второго утверждения теоремы 2.1 и второго утверждения теоремы 2.5 следует, что .

Замечание. Далее необходимо помнить следующие пределы

, число; ; , если ;

, если ; . ▲

Задачи

5.1. Доказать, используя второе утверждение теоремы 2.5, что :

a) , ; б) , ; в) , .

5.2. Найти предел последовательности

а) ; б) ; в) ; г) , .

5.3. Доказать расходимость последовательности

а) ; б) .

5.4. Доказать, что монотонная последовательность сходится, если сходится какая-нибудь ее подпоследовательность.