Примеры

3.1. Найти предел последовательности , .

Решение. Последовательность имеет вид:

.

Так как , , то

.

Неубывающая последовательность ограничена сверху числом 0 и . Невозрастающая последовательность ограничена снизу числом и . Итак, , поэтому .

3.2. Последовательность , , предела не имеет.

Решение. Имеем:

;

.

Так как , то последовательность , , предела не имеет.●

Теорема 2.4. Следующие утверждения справедливы.

1. Неубывающая или возрастающая последовательность , ограниченная сверху, сходится, и число является ее пределом.

2. Невозрастающая или убывающая последовательность , ограниченная снизу, сходится, и число является ее пределом.

Доказательство.

1. Так как ; , то последовательность совпадает с исходной последовательностью , а последовательность является стационарной, каждый член которой равен . Отсюда находим: , . Значит, последовательность сходится, и .

2. Доказательство проводится аналогично предыдущему пункту. ■

Примеры

3.3. Предел стационарной последовательности , при любом , равен .

Решение. Стационарная последовательность является неубывающей, поэтому ее предел равен .

3.4. Найти предел последовательности , где , .

Решение. Последовательность убывающая:

,

и ограниченная снизу числом , поэтому ее предел равен . Докажем, что число является точной нижней гранью последовательности , т.е. для каждого неравенство справедливо при всех (свойство 2 в § 2.2). Имеем: . Из теоремы 2.1 следует, что неравенство справедливо при всех . ●

Лемма (Бернулли). Если , то при любом справедливо неравенство , причем , или .

Доказательство. Если , или , то верно . Если же и , то доказательство неравенства проведем методом математической индукции.

Утверждение леммы справедливо, если :

.

Докажем, что из истинности неравенства , следует справедливость неравенства :

. ■

Число e. Числовая последовательность сходится.

Докажем, что последовательность убывает и ограничена снизу. Используя лемму Бернулли, имеем

, .

Этим доказано, что последовательность убывает. Так как , то последовательность ограничена снизу. Следовательно, эта последовательность имеет предел. Предел последовательности равен числу . ■

§ 2.4. Критерий сходимости последовательности

Находить предел последовательности, используя его определение,— достаточно трудоемкий процесс. Поэтому, построим инструменты, при помощи которых будут сформулированы приемы и методы нахождения пределов значительного числа последовательностей.

Теорема 2.5. Следующие условия равносильны.

1. Число является пределом ограниченной последовательности .

2. Для каждого числа неравенство справедливо при всех , начиная с некоторого номера, т.е. при всех , где некоторое натуральное число.

3. Для каждого числа окрестность точки содержит члены последовательности при всех , где некоторое натуральное число.

1 2. Пусть и — произвольное положительное число. Тогда из теоремы 2.3 получаем :

, если ; , если .

Если , то , если .

2 3. Расстояние между точками и равно . Следовательно, из условия 2 следует, что для каждого положительного числа все точки последовательности находятся от точки на расстоянии меньше при всех , т.е. при всех .

3 1. Из условия 3 теоремы 2.5 и теоремы 2.1 следует ограниченность последовательности . Следовательно, существуют числа и . Докажем, что .

Сначала методом от противного докажем, что . Пусть и расстояния между точками и равно , т.е. Возьмем . Из условия 3 теоремы: при любом . Отсюда следует, что неравенство справедливо при любом .

Из свойства числа вытекает, что неравенство справедливо при всех . Полагаем . Тогда при всех имеем:

.

Противоречие. Аналогично доказывается равенство . ■

Следствие. Если последовательность и число , то неравенство будет выполняться для всех .

Доказательство. Рассмотрим случай . Возьмем число . Каждое число из окрестности больше числа . Так как последовательность , то в окрестность попадают все члены последовательности , если (условие 3 теоремы), т.е. для всех . Аналогично рассматривается случай . ■

Замечание. Если для каждого числа неравенство , , справедливо при всех , начиная с некоторого номера, то .

Доказательство. Возьмем произвольное . Так как , то неравенство будет справедливо при всех . Отсюда, ввиду , следует справедливость неравенства при всех , поэтому .▲

Теорема 2.5 не содержит указаний для нахождения предела последовательности, но она формулирует условия, при помощи которых можно получить ответ на вопрос: число является пределом последовательности ?