§ 2.3. Предел ограниченной последовательности
Рассмотрим
ограниченную
последовательность чисел
.
Последовательность
также ограничена при любом
.
Построим две числовые последовательности
и
:
,
.
Свойства
последовательностей
и
:
1.
,
2.
—
неубывающая последовательность;
3.
—
невозрастающая последовательность.
Первое свойство
следует из определения чисел
и
.
Так как множество
,
то второе и третье свойства вытекают
из теоремы 1.7.
Из свойств 1––3 следует цепочка неравенств
.
(3.1)
Таким образом,
последовательность
—
неубывающая и ограниченная сверху
числом
,
а последовательность
— невозрастающая и ограниченная снизу
числом
.
Введем обозначения:
,
.
Числа
и
называются соответственно нижним
и верхним пределом
последовательности
.
Теорема 2.3. Справедливы следующие утверждения.
1. Нижний
предел последовательности не превосходит
ее верхний предел, т.е.
.
2. Для
каждого
неравенство
справедливо при всех
.
3. Для
каждого
неравенство
справедливо при всех
.
Доказательство
1. Действительно,
из условия (3.1) следует, что
при любом
является нижней гранью множества
.
Так как
наибольшая
нижняя грань этого множества, то
при любом
.
Отсюда следует, что
верхняя грань множества
.
Ввиду того, что
наименьшая верхняя грань множества
,
то
.
2. Так
как число
,
то из
свойства точной верхней грани неубывающей
последовательности следует, для каждого
неравенство
(3.2)
справедливо при
всех
.
Из первого свойства последовательности
вытекает
при всех
.
Отсюда и из неравенства (3.2) следует, что
при всех
справедливы неравенства:
.
3. Так
как число
,
то из
свойства точной нижней грани невозрастающей
последовательности следует, для каждого
неравенство
(3.3)
справедливо при
всех
.
Из первого свойства последовательности
вытекает
при всех
.
Отсюда и из неравенства (3.3) следует, что
при всех
справедливы неравенства
.
■
Если для
ограниченной
последовательности
нижний и
верхний пределы
совпадают, т.е.
,
то последовательность
называется сходящейся,
а число
называется пределом
последовательности
.
Неограниченная последовательность
предела не имеет.
Если число
является пределом последовательности
,
то будем говорить, что она сходится к
числу
и писать
.
Предел
последовательности
обозначают символом
,
т.е.
.
Если последовательность не имеет
предела, то ее называют расходящейся.
Неограниченная последовательность
является расходящейся.