§ 2.2. Монотонные последовательности

Последовательность чисел называется неубывающей (возрастающей), если каждый последующий член последовательности не меньше (больше) предыдущего члена, т.е.

.

Если же каждый последующий член последовательности не больше (меньше) предыдущего члена, то последовательность называется невозрастающей (убывающей), т.е.

.

Эти четыре типа последовательностей называются монотонными.

Последовательность , где при всех , называется стационарной. Стационарная последовательность является неубывающей, а также невозрастающей.

Чтобы установить, что последовательность , например, убывает, достаточно доказать, что неравенство при всех . Если же члены последовательности положительны, то последовательность будет убывать, если неравенство при всех .

Свойство точных граней монотонных

последовательностей

1. Число является точной верхней гранью неубывающей или возрастающей последовательности тогда и только тогда для каждого неравенство справедливо при всех .

2. Число является точной нижней гранью невозрастающей или убывающей последовательности , тогда и только тогда, когда для каждого неравенство справедливо при всех .

Доказательство.

1. Пусть является точной верхней гранью неубывающей или возрастающей последовательности , т.е. . Тогда имеем цепочку равносильных утверждений: не является верхней гранью множества содержит такой элемент , для которого

, если (так как последовательность неубывающая или возрастающая, то , если ).

2. Случай невозрастающей или убывающей последовательности рассматривается аналогично. ■

Примеры.

2.1.Доказать, что следующие последовательности являются монотонными и найти их точные грани:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Решение

а) Последовательность является возрастающей, так как последующий член больше предыдущего. Эта последовательность неограниченна сверху, так как неравенство выполняется при всех . Следовательно, эта последовательность не имеет точной верхней грани. Элемент является наименьшим ее элементом.

б) Последовательность , и , является убывающей, так как для всех имеем:

.

Отсюда следует, что элемент является наибольшим элементом последовательности.

Докажем, что , т.е. для каждого неравенство справедливо при всех (свойство 2 в § 2.2). Имеем:

Из теоремы 2.1 следует, что неравенство справедливо при всех .

в) Последовательность является убывающей, если :

для всех .

Следовательно, элемент является наибольшим элементом.

Докажем, что , т.е. для каждого неравенство справедливо при всех (свойство 2 в § 2.2). Имеем:

.

Из теоремы 2.1 следует, что неравенство справедливо при всех .

г) Последовательность , является возрастающей, если , так как последующий член больше предыдущего. Она неограниченна сверху, так как неравенство выполняется при всех , поэтому последовательность не имеет точной верхней грани. Элемент является наименьшим ее элементом.

д) Последовательность является возрастающей, так как для всех имеем:

,

поэтому элемент является ее наименьшим элементом.

Докажем, что , т.е. для каждого неравенство справедливо при всех (свойство 2 в § 2.2). Имеем:

.

Из теоремы 2.1 следует, что неравенство справедливо при всех .

2.2. Найти такое натуральное число , что при всех последовательность убывает.

Решение. Имеем следующую цепочку равносильных утверждений:

.

Последнее утверждение в этой цепочке является истиной при всех . Следовательно, отношение также является истиной при всех , поэтому последовательность является убывающей при всех . ●

Теорема 2.2. Каждая числовая последовательность либо содержит убывающую, либо содержит неубывающую подпоследовательность.

Доказательство. Назовем элемент последовательности правильным, если все последующие члены последовательности меньше . Если элемент не является правильным, то будем называть его неправильным.

Если правильных элементов бесконечно много, то они образуют убывающую подпоследовательность: если и — правильные элементы и , то , так как правильный элемент.

Если же правильных элементов конечное множество, то обозначим через наибольший номер этих элементов. Тогда все элементы последовательности, номера которых больше , являются неправильными.

Рассмотрим неправильный элемент , . Так как — неправильный элемент, то среди следующих за ним элементов найдется такой элемент , что , . Элемент тоже неправильный ( и среди следующих за этим элементов найдется такой элемент , что . Продолжая процесс построения элементов таким образом далее, получим неубывающую подпоследовательность .■

Задачи

2.1. Доказать монотонность последовательностей:

а) , б) , в) , г) .

2.2. Найти точные грани следующих последовательностей :

a) ; б) ; в) .

2.3. Найти точную верхнюю грань следующих последовательностей:

а) ;

б) .

(Указание: представить член последовательности в виде суммы слагаемых).

2.4. Найти такое натуральное число , чтобы при всех последовательность была монотонной:

a) , б) !.

2.5. Доказать, что каждая последовательность содержит либо возрастающую последовательность, либо невозрастающую последовательность.