Глава 2. Предел последовательности

§ 2.1. Числовые последовательности

Если каждому натуральному числу поставлено в соответствие действительное число :

, , ,…

…

,

то говорят, что задана числовая последовательность . Другими словами, числовая последовательность — это действительные числа, занумерованные всеми натуральными числами и расположенные в порядке возрастания номеров. Эти действительные числа называются членами или элементами последовательности. Элемент следует за элементом , а предшествует элементу . Числовую последовательность будем кратко обозначать символом .

Число называют общим или -м членом последовательности. Числовая последовательность считается заданной, если указан метод вычисления общего члена при каждом значении . Чаще всего указывается формула для общего члена последовательности, используя которую вычисляют члены последовательности.

Примеры

1.2. Числовая последовательность задана формулой:

a) ; б) .

Написать ряд элементов этих последовательностей.

Решение. Подставляя в общий член последовательности вместо натуральные числа , получим:

a) ; б) ●

Рассмотрим числовую последовательность и некоторую окрестность точки — . Далее будет часто встречаться ситуация, когда все члены последовательности , кроме конечного числа, будут принадлежать этой окрестности.

Замечание. Следующие условия равносильны:

1. Окрестности принадлежат все члены последовательности , кроме конечного числа, т.е. вне окрестности находится лишь конечное число членов последовательности .

2. При всех члены последовательности принадлежат окрестности , где — некоторое натуральное число.

3. Неравенство справедливо при всех , где — некоторое натуральное число.

Доказательство

1 2. Вне окрестности находится лишь конечное число членов последовательности : Обозначим через любое число, которое больше чисел . Тогда все члены последовательности, номера которых принадлежат окрестности .

2 3. При всех справедлива цепочка импликаций:

.

3 1. При всех справедлива цепочка импликаций:

.

Отсюда следует, что только члены последовательности могут не принадлежать окрестности , т.е. вне окрестности находится лишь конечное число членов последовательности .▲

Числовая последовательность является числовым множеством, поэтому можно говорить о верхней и нижней грани последовательности. Отсюда следует, что:

а) последовательность ограничена, если для любого ;

б) последовательность неограничена, если для любого найдется элемент этой последовательности, для которого .

Теорема 2.1. Справедливы следующие утверждения.

1. Если интервал содержит все члены последовательности , начиная с некоторого номера , то эта последовательность является ограниченной.

2. Если при каждом равносильны неравенства:

,

где — число, не зависящее от номера , то неравенство справедливо при всех .

3. Если неравенство справедливо для всех членов последовательности с номерами , то неравенство справедливо при всех и при любом .

Доказательство

1. Интервал содержит все члены последовательности , кроме членов . Число является верхней гранью последовательности , а число — нижняя грань последовательности . Следовательно, последовательность ограничена.

2. Неравенство справедливо при всех , где (число равно , если ; если же , то ). Следовательно, неравенство справедливо при всех .

3. Если неравенство справедливо для всех членов последовательности с номерами , то неравенство также справедливо при всех .■

В последовательности выберем элемент, номер которого обозначим символом . Затем выберем другой элемент — , номер , и так далее. Получим последовательность элементов

, причем ,

которая называется подпоследовательностью последовательности и обозначается символом . Заметим, что в последовательности номером члена является число , а — его номер в последовательности . Члены подпоследовательности можно обозначить новыми буквами:

.

Иными словами, подпоследовательность — это бесконечная часть последовательности, в которой следование одного элемента за другим остается таким же, как и в исходной последовательности. Например, последовательности , , являются подпоследовательностями последовательности .

Чтобы доказать, что последовательность является подпоследовательностью последовательности надо установить, что а) каждый элемент является членом последовательности , т.е. , б) .

Примеры

1.2. Доказать, что последовательность , , является подпоследовательностью последовательности , .

Решение. Так как , то , и , поэтому последовательность является подпоследовательностью последовательности .

1.3. Доказать, что последовательность , , является подпоследовательностью последовательности , .

Решение. Так как , то , и , поэтому последовательность является подпоследовательностью последовательности .●

Над числовыми последовательностями будем выполнять арифметические действия по правилам:

a) ; б) + ; в) ;

г) , если при всех .

Задачи

1.1. Изобразить на координатной прямой числовые последовательности и найти среди них неограниченные последовательности:

a) ; б) ; в) , г) ; д) .

1.2. Доказать, что последовательность является подпоследовательностью последовательности :

a) , ; б) , ; в) ,