Второй вариант искомого плана

с j ci	Базисные переменные	Свободные члены	0,25	1,2	0	0	0
			Х1	Х2	Х3	Х4	Х5
0	Х2	40000	0,1	1	20	0	0
0	Х4	14000	0,1	0	-2	1	0
0	Х5	2200	0,02	0	-0,5	0	1
	zj – cj	48000	-0,13	0	0,24	0	0

Элементы очередной симплексной таблицы рассчитывают на основе численных значений (элементов) предыдущей таблицы, пользуясь соответствующими правилами. Эти правила могут быть выражены двумя простыми формулами. Предварительно введем необходимые обозначения. Переменная, которая в целях улучшения плана вводится в базис, обозначается через Х_k; переменная, удаляемая из базиса, - Х_r. Столбец Х_k и строка Х_r называются главными (ключевыми). Элементы предыдущей таблицы обозначим через – a_ij, где i – номер строки, j – номер столбца. Символы очередной таблицы дополняются штрихом - a′_ij. Элемент, стоящий на пересечении главной строки и главного столбца, называется главным элементом таблицы – a_rk.

Символ элементов главной строки – a_ri, главного столбца – a_ik. Соответствующие элементы очередной таблицы, стоящие в k-ой строке, обозначают через a′_kj, а элементы столбца r - a′_ir. Теперь познакомимся с симплексными формулами.

a_zj

a′_kj = ------ ,. (2.105.)

a_zk

По формуле находим элементы k-ой строки таблицы 2.37.

Подставляя в формулу данные предыдущей таблицы, получим следующие значения:

2000

a′_2.0 = -------- = 40000

0,05

0,005

a′_2.1 = --------- = 0,1

0,05

0,05

a′_2.2 = -------- = 1

0,05

1

a′_2.3 = ------- = 20

0,5

0

a′_2.4 = ------ = 0

0,05

0

a′_2.5 = ------ = 0

0,05

По следующей формуле находим все прочие элементы таблицы 2.37.:

a′_ij = a_ij - a′_kj a_ik , (2.106.)

Элементы строки Х₄:

a′_4.0 = 180000 – 40000 х 0,1 = 14000

a′_4.1 = 0,11 – 1 х 0,1 = 0

a′_4.2 = 0,1 – 1 х 0,1 = 0

a′_4.3 = 0 – 20 х 0,1 = -2

a′_4.4 = 1 – 0 х 0,1 = 1

a′_4.5 = 0 – 0 х 0,1 = 0

Таким же образом вычисляем элементы строки Х₅, то есть из элементов строки Х₅ таблицы 2.36 вычитаем произведения соответствующих элементов (a′_kj a_ik) – см. формулу.

Элементы строки Х₅:

a′_5.0 = 3200 – 40000 х 0,025 = 2200

a′_5.1 = 0,0225 – 0,1 х 0,025 = 0,02

a′_5.2 = 0,025 – 1 х 0,025 = 0

a′_5.3 = 1 – 20 х 0,025 = 0,5

a′_5.4 = 0 – 0 х 0,025 = 0

a′_5.5 = 1 – 0 х 0,025 = 1

По этой формуле устанавливаем элементы индексной строки:

a′_0.0 = 48000; a′_0.1 = -0,13; a′_0.2 = 0; a′_0.3 = 24; a′_0.4 = 0; a′_0.5 = 0.

По второму варианту плана в хозяйстве будет произведено 40000 ц ячменя (Х₂ = 40000), или 48000 ц к.ед. (С = 48000). Но при этом еще 14000 человеко-дней и 2200 тракторо-смен останутся неиспользованными (таблица 2.37.). Чтобы использовать эти трудовые ресурсы, видимо, необходимо запланировать наряду с производством ячменя возделывание более трудоемкой культуры – кормовой моркови.

Проверим план с помощью критерия оптимальности. При определении максимума (а мы добиваемся именно этого!) оптимальное решение должно иметь в индексной строке только неотрицательные элементы. В таблице 2.37. при Х₁ отрицательной (-0,13). Следовательно и второй вариант плана не оптимален.

Используя приведенную выше методику, составим очередную симплексную таблицу.

При этом в число базисных переменных вводим Х₁.

Определим переменную (Х₂), удаляемую из базиса:

40000 : 0,1 = 400000; 14000 : 0,1 = 140000; 2200 : 0,2 = 110000.

Как видим, наименьшее частное – в строке Х₅. Следовательно, эта переменная и естьХ₂. После расчета всех необходимых элементов получим третий вариант плана (таблица 2.38.).

Таблица 2.38.

с j ci		Базисные переменные	Свободные члены	0,25	1,2	0		0	0
				Х1	Х2	Х3		Х4	Х5
1,2	Х2		29000	0	1	22,5	0			-5
0	Х3		3000	0	0	0,5	1			-5
0,25	Х4		111000	1	0	-25	0			50
	zj – cj		62300	0	0	20,75	0			6,5

Коэффициенты индексной строки таблицы неотрицательны. Следовательно, получено оптимальное решение. Этим оптимальным планом предусматривается произвести 110000 ц кормовой моркови и 29000 ц ячменя. Всего планируется получить 62300 ц к.ед., в том числе 27500 ц к.ед. даст кормовая морковь (110000 х 0,25). Пашня и механизированный труд будут использованы полностью. Так как Х₃ и Х₄ находятся в числе небазисных неизвестных, то есть равны нулю.

Теперь остается определить посевные площади под запланированными культурами.

1. Посевная площадь кормовой моркови – 550 га (111000 : 200).

2. Посевная площадь ячменя – 1450 га (29000 : 20).

3. Итого – 2000 га (550 + 1450).

Будет затрачено механизированного труда (тракторо-смен).

1. На производство кормовой моркови – 2475 (550 х 4,5).

2. На производство ячменя – 725 (1450 х 0,5).

3. Итого – 3200.

Варианты конно-ручного труда составят (человеко-дней).

1. На производство кормовой моркови – 12100 (550 х 205)

2. На производство ячменя – 2900 (1450 х 2).

3. Итого – 15000.

Следовательно, остается недоиспользованными 3000 чел.-дней (18000 - 15000).

Таким образом, в результате проведенных расчетов получено оптимальное решение поставленной задачи.

В целях большей наглядности и простоты изложения симплексного алгоритма были составлены отдельно три симплексные таблицы. Однако они имеют не только одинаковые конструкции, но и общее сказуемое (верхнюю часть). Это свойство позволяет объединить их в одну общую таблицу и выполнить расчет более компактно.

Для демонстрации этого положения решим еще одну небольшую задачу.

Задача 2. Пусть требуется определить оптимальное сочетание посевных площадей трех культур: пшеницы, гречихи и картофеля. Для возделывания этих культур хозяйство может выделить: пашни 6000 га, 5000 человеко-дней для выполнения механизированных работ и 9000 человеко-дней для конно-ручных работ. Плановая урожайность пшеницы – 20 ц, гречихи – 10 и картофеля – 100 ц.

Затраты труда на гектар (человеко-дней):

Пшеница Гречиха Картофель

Механизированного……………… 0,5 1 5

Конно-ручного…………………… 0,5 0,5 20

Прибыль от 1 ц: пшеницы – 4 руб., гречихи – 10, картофеля – 3 руб.

Требуется найти такое сочетание посевов этих культур, которое обеспечило бы максимум прибыли.

По данным условиям задачи составим вспомогательную таблицу (таблица 2.39.).

Таблица 2.39.