Затраты труда на производство ячменя и кормовой моркови

Производственные ресурсы	Затраты на один ц		Наличие производственных ресурсов
	Морковь кормовая	Ячмень
Пашня, га	0,005	0,05	2000
Затраты труда: на конно-ручных работах, ч.-дн.	0,11	0,10	18000
на механизированных работах, тр.-смен	0,0225	0,025	3200

Чтобы получить 1 ц кормовой моркови, требуется 0,005 га пашни, 1 ц ячменя – 0,05 га.

По данным условиям составим неравенства.

По пашне:

0,005Х₁ + 0,05Х₂ ≤ 2000.

По затратам труда:

0,11Х₁ + 0,10Х₂ ≤ 18000

0,0225Х₁ + 0,025Х₂ ≤ 3200.

Оптимальный вариант сочетания культур может оказаться таким, что некоторые производственные ресурсы будут использованы не полностью. Поэтому ставится знак «меньше или равно» (≤).

Из смысла задачи следует, что Х₁ и Х₂ должны быть неотрицательными, то есть Х₁ ≥ 0, Х₂ ≥ 0.

Требуется найти такие неотрицательные значения Х₁ и Х₂, которые в сумме давали бы максимум кормовых единиц. Если искомый максимум обозначить через С, то можно записать:

0,005Х₁ + 0,05Х₂ ≤ 2000

0,11Х₁ + 0,10Х₂ ≤ 18000

0,0225Х₁ + 0,025Х₂ ≤ 3200

С = 0,25Х₁ + 1,2Х₂

Теперь неравенства преобразуем в уравнения. Для этого в каждое неравенство введем дополнительные неотрицательные переменные величины: Х₃, Х₄ и Х₅, обозначающие размеры недоиспользованных ресурсов:

0,005Х₁ + 0,05Х₂ + Х₃ = 2000

0,11Х₁ + 0,10Х₂ + Х₄ = 18000

0,0225Х₁ + 0,025Х₂ + Х₅ = 3200

С = 0,25Х₁ + 1,2Х₂

В нашем примере Х₃ – размер недоиспользованной пашни, Х₄ – человеко-дней, Х₅ – тракторо-смен.

Таким образом, условия задачи сформулированы в виде системы линейных уравнений, содержащей три уравнения с пятью неизвестными, то есть п >т. Такая система имеет множество решений.

Предположим, что Х₄ и Х₅ равны нулю, и решим систему из трех уравнений с тремя неизвестными:

0,005Х₁ + 0,05Х₂ + Х₃ = 2000

0,11Х₁ + 0,10Х₂ = 18000

0,0225Х₁ + 0,025Х₂ = 3200

В результате получим одно из возможных решений:

Х = (Х₁; Х₂; Х₃; 0; 0).

Решение, где число нулевых переменных не превосходит числа уравнений, называется базисным. При этом переменные Х₁, Х₂ и Х₃, значения которых определяются, являются базисными, а Х₄ и Х₅, заранее приравненные к нулю, - небазисными.

Для решения задачи линейного программирования симплексным методом необходимо знать одно из допустимых базисных решений соответствующей системы условий. Указанное выше решение хотя и является базисным, но может оказаться и недопустимым, если хотя бы одно из значений переменных будет отрицательным.

Чтобы получить допустимое базисное решение, возьмем в качестве базисных дополнительные переменные Х₃, Х₄ и Х₅. При этом Х₁ и Х₂ равны нулю, как небазисные переменные, а Х₃, Х₄ и Х₅ равны свободным членам соответствующих уравнений системы.

Решение подобных задач симплексным методом (вручную) осуществляется путем составления серии так называемых симплексных таблиц. В верхней строке этих таблиц (c_j) даны коэффициенты при неизвестных целевой функции. Левый крайний столбец (c_i) состоит из коэффициентов целевой функции при неизвестных, вошедших в базис. Затем следует столбец базисных переменных и столбец свободных членов. Элементы всех прочих столбцов представляют собой коэффициенты при неизвестных системы уравнений. Наконец, нижняя строка таблицы (z_j – c_j) называется индексной строкой. В столбцах х_j индексной строки содержится оценки плана (решения), а в столбце свободных членов – численное значение целевой функции. Номера строк и столбцов таблицы определяются номерами стоящих в них переменных. Столбец свободных членов и индексная строка – нулевые.

Составим симплексную таблицу для первого базисного решения поставленной задачи (таблица 2.36.).

Таблица 2.36.