Дисперсионный анализ

Дисперсия в статистике – мера рассеивания (отклонение от среднего). Она выражается формулой:

1 _ _

σ² = --- {(х₁ – х)² + … + (х_п – х)²} . (2.75.)

п

Как видим, она выражает среднеквадратическое отклонение величин (х₁, х₂, …, х_п) от их среднеарифметического:

_ х₁ + х₂ + … + х_п

х = ---------------------- . (2.76.)

п

Этот прием используется в тех случаях, когда отсутствует возможность собрать по изучаемому вопросу массовый материал.

Рассеяние признаков (общую дисперсию) выражают через Д_у. Она распадается на составные части:

Д_х – факторальная дисперсия, возникшая под влиянием изучаемых факторов;

Д_z – остаточная дисперсия, возникшая под влиянием остальных факторов в процессе изучения определенного явления.

Следовательно, Д_у = Д_х + Д_z = 1.

Факторальная дисперсия состоит из суммы дисперсий изучаемых факторов (a, b, c и т.д.). Она характеризует совместное их влияние на изменчивость исследуемого явления.

Тогда с учетом двух неучтенных факторов общая дисперсия будет иметь вид:

Д_у = Д_а + Д_b + Д_ab + Д_z, (2.77.)

С учетом трех изучаемых факторов – соответственно:

Д_у = Д_a + Д_b + Д_c + Д_ab + Д_ac + Д_bc + Д_abc + Д_z , (2.78.)

Незначительная величина остаточной дисперсии свидетельствует о достаточно высоком уровне познания изучаемых факторов.

Основные факторы дисперсионного анализа.

1. Расчет общей, факторальной и остаточной дисперсии на основе анализа изучаемой статистической совокупности.

2. Определение удельного веса каждой дисперсии в общей мере рассеивания.

3. Корректировка дисперсий на число степеней свободы.

4. Исчисление коэффициента Фишера (F).

5. Установление достоверности факторальных дисперсий (сопоставление полученных значений F с табличными). Если вычисленное значение F больше или равно табличному, то влияние изучаемого фактора признается достоверным.

При изучении двух факторов исчисление коэффициента Фишера (F) производится по формулам:

σ²Д_об σ²Д_а σ²Д_в σ²Д_ав

F = ------- , F = -------- , F = ------- , F = ------- , (2.79.)

σ²Д_ос σ²Д_ос σ²Д_ос σ²Д_ос

где: σ²Д_об – корректировка общей дисперсии;

σ²Д_ос – корректировка остаточной дисперсии;

σ²Д_а – корректировка дисперсии по первому фактору;

σ²Д_в – корректировка дисперсии по второму фактору;

σ²Д_ав – корректировка дисперсии по обоим факторам.

При анализе используются формулы:

(Σх)²

Д_у = Σх² - ------ - общая дисперсия; (2.80.)

п

(Σх)²

Д_z = Σх² - ------ - остаточная дисперсия; (2.81.)

п_х

(Σх)² (Σх)²

Д_х = Σ------- - ------- - общефакторальная дисперсия; (2.82.)

п_х п

(Σх_а)² (Σх)²

Д_а = Σ------- - ------- - дисперсия от а; (2.83.)

п_а п

(Σх_в)² (Σх)²

Д_в = Σ------- - ------- - дисперсия от в; (2.84.)

п_в п

Д_ав = Д_у – Д_а – Д_в - дисперсия от ав; (2.85.)

где: х – варьирующий признак;

п – количество анализируемых объектов.

Таблица 2.16.

Схема обработки двухфакторной совокупности