4.С.В. Распределена биномиально с параметрами . Найти вероятности событий и выяснить, зависимы ли эти события.

P(X=2) = C^2_4*p^2*(1-p)^2 = 6/16 = 3/8

P(X>0) = 1-P(X=0) = 1-C^0_4/16 = 1-1/16 = 15/16.

События зависимы

5.В ящике лежат 3 новых и 4 игранных тенисных мяча. Для тренировки спортсмен взял наугад 2 мяча, поиграл ими и положил назад в ящик. Для игры он опять наугад взял один мяч. Какова вероятность, что этот мяч новый?

I игра:

А_1 = 2 новых мяча

А_2 = 1 новый, 1 игранный

А_3 = 2 игранных

P(A_1) = C^2_3/C^2_7 = 3/21 = 1/7

P(A_2) = (C^1_3*C^1_4)/C^2_7 = (3*4)/21 = 12/21

P(A_2) = C^2_4/C^2_7 = 6/21

II игра:

B_1 = взял новый мяч

По формуле полной вероятности:

P(B_1) = 1/7*1/7 + 12/21*2/7 + 6/21*3/7 = (3+24+18)/147 = 45/147.

33

По каким формулам определяется математическое ожидание и дисперсия н.с.в. .

1б ;

2.Опишите теорему Чебышева.

Теорема Чебышева: При достаточно большом числе независимых случайных величин Х₁, Х₂, Х₃, ..., Х_n, дисперсия каждой из которых не превышает одного и того же постоянного числа В, для произвольного сколько угодно малого числа   справедливо неравенство

3.С.в. показательно распределена со средним значением 2. Найти математическое ожидание с.в. .

P(Y=0) = P(X<1) = F(1) = 1-e^(-2)

P(Y=2) = 1-P(Y=0) = e^(-2)

MY = 2*e^(-2)

4.Берут сразу две карты из колоды в 36 карт. Найдите условную вероятность взять туза, при условии, что одна из взятых карт десятка.

Р(взять туза) = 2 * 4/36*4/35

5. Напишите плотность и функцию распределения с.в., распределенной по показательному закону с параметром . Начертите графики этих функций.

Плотность f(x) = 2*e^(-2x) при x>=0, f(x) = 0 при x<0

Функция распределения F(x) = 1-e^(-2x) при x>=0, F(x) = 0 при x<0

График нарисуйте сами в приложении «Построитель графиков» на Вконтакте.

34

1.По каким формулам считается математическое ожидание и дисперсия с.в. , распределенной по равномерному закону на отрезке .

1б. ;

2.Опишите теорему Бернулли.

Рассмотрим схему Бернулли с вероятностью успеха   то есть пусть дана последовательностьнезависимых случайных величин   где

Определим   как число успехов в первых   испытаниях:

Тогда

 при 

то есть

3.С.в. распределена по нормальному закону с параметрами . Найти математическое ожидание с.в. .

P(Y=0) = P(X<1) = F(1) = ½

P(Y=1) = 1-P(Y=0) = ½

MY = 1*1/2 = 1/2

4.Берут сразу две карты из колоды в 36 карт. Найдите условную вероятность взять короля, при условии, что одна из взятых карт десятка.

Р(взять короля) = 2 * 4/36*4/35

5.С.в. распределена по нормальному закону с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением .Найдите вероятности событий и выясните, зависимы ли эти события.

P(0<X<2) = F(2)-F(0) = 0.5*(erf(0)-erf(-sqrt{2}/3)) = -0.5*(0.5-erf(-sqrt{2}/3))

P(1<X<4) = F(4)-F(1) = 0.5*(erf(sqrt{2}/3)-erf(-1/3*sqrt{2}))

Erf – это интеграл Лапласа (см.выше)

35

1.Событие называется зависимым от события если

1б.

2.Опишите формулы, связывающие плотность и функцию распределения с. в. .

Производная функции распределения F есть плотность f

3. С.в. имеет ряд распределения: и . Найти дисперсию .

MY = 0,5+0,4+0,5+0,3*a = 9  а = 7,6/0,3 = 25,333333…. .

M(Y^2) = 0,5+1,6+2,5+192,533333… . = 197,133333….. .

DY = 197,1333333 – 81 = 116,133333…. .

4.С.в. имеет ряд распределения: и . Найти , где обозначает функцию распределения с.

P = 1-0,5-0,1-0,1 = 0,3

MX = 0,5+0,4+0,5+0,3*a = 1,4+0,3*a = 3  a = 5,33333… .

F(2) = P(X<2) = 0,5

F(5) = P(X<5) = 0,5+0,1 = 0,6

F(6) = P(X<6) = 1

5.Найти коэффициет корреляции если система имеет следующую таблицу распределения .

P(X+Y = -1) = 0,2

P(X+Y = 0) = 0,4

P(X+Y = 1) = 0,2

P(X+Y = 2) = 0,2

M(X+Y) = -0,2+0,2+0,4 = 0,4

M((X+Y)^2) = 0,2+0,2+0,8 = 1,2

D(X+Y)=1,2-0,16 = 1,04

MX = -0,6+0,4 = -0,2; M(X^2) = 0,6+0,4 = 1; DX = 1-0,04 = 0,96

MY = 0,6; M(Y^2) = 0,6; DY = 0,6-0,36 = 0,24

Cov(X,Y) = 0,5*(1,04-0,96-0,24) = -0,08

36

1.Укажите формулы, по которым можно найти математическое ожидание и дисперсию с.в. , распределенной по закону Пуассона с параметром .

1в. ;

2.Опишите формулу для дисперсии суммы двух с.в.

D(X+Y) = DX+DY+2*cov(X,Y), где cov(X,Y) – коэффициент корреляции.

3.С.в. принимает все целые значения от 1 до 4 с равной вероятностью. Найти ее дисперсию.

MX = (1+2+3+4)/4 = 2,5

M(X^2) = (1+4+9+16)/4 = 7,5

DX = 7,5-6,25 = 1,25

4.С.в. равномерно распределена на отрезке [10,20]. Найдите вероятности событий и выясните, зависимы ли эти события.

P(X>15) = (20-15)/10 = 0,5

P(X<18) = (18-10)/10 = 0,8

События зависимы

5.Написать формулу и нарисовать график для функции распределения с.в. с рядом распределения . Найти .

Функция распределения F(x) = 0 при x<0

F(x) = 0,2 при 0<=x<2

F(x) = 0,4 при 2<=x<4

F(x) = 0,5 при 4<=x<6

F(x) = 1 при 6<=x

График нарисуйте сами в приложении «Построитель графиков» на Вконтакте.

F(1) = 0,2

F(3) = 0,4

F(5) = 0,5

37

1.Укажите формулу Байеса

1б.

2.Опишите принцип диверсификации.

Диверсификация означает распределение инвестиций среди нескольких рискованных активов вместо концентрации их всех в одном-единственном активе. Суть диверсификации выражена в известной поговорке — "Не кладите все яйца в одну корзину". Принцип •версификации (diversification principle) гласит, что посредством диверсификации направлении вложений среди большого числа рискованных активов можно иногда достичь общего снижения уровня риска, не уменьшая при этом уровня ожидаемой доходности.

3.Как описать математически портфель ценных бумаг?

Каждая ценная бумага – это случайная величина, ведь цена ценной бумаги в каждый момент принимает различные значение. Соответственно, можно ожидать, что числовые характеристики случайных величин будут также присущи и ценным бумагам. А портфель ценных бумаг – это многомерная случайная величина.

4.С.в. распределена по равномерному закону на отрезке [-10,20]. Найти вероятности событий , условную вероятность и выяснить, зависимы ли первые два события.

P(X<0) = (0+10)/30 = 1/3

P(X>-1) = (20+1)/30 = 0,7

События зависимы

P((X<10)|(X>18)) = 0

5.В урне лежат 3 шара белых, 3 шара красных и 3 шара черных. Берут сразу 3 шара. Какова вероятность: а) все 3 взятых шара одинакового цвета; б) все 3 взятых шара разного цвета; в) среди взятых шаров есть шар белого цвета?

А) P = (C^3_3 + C^3_3 + C^3_3)/C^3_9

Б) P = (C^1_3*C^1_3*C^1_3)/C^3_9

B) P = (C^1_3+C^2_3+C^3_3)/C^3_9

38

1. Укажите формулу, определяющую функцию распределения вероятности с.в.

1г. .

2.Опишите Центральную Предельную Теорему.

Пусть   есть бесконечная последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, имеющих конечное математическое ожидание и дисперсию. Обозначим последние   и  , соответственно. Пусть также

.

Тогда

 по распределению при  ,

где   — нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением, равным единице.

3.Бросают сразу два игральных кубика. Найти дисперсию суммы выпавших очков.

P (сумма = 2) = 1/36

P (сумма = 3) = 2/36

P (сумма = 4) = 3/36

P (сумма = 5) = 4/36

P (сумма = 6) = 5/36

Р (сумма = 7) = 6/36

Р (сумма = 8) = 5/36

P (сумма = 9) = 4/36

P (сумма = 10) = 3/36

P (сумма = 11) = 2/36

P (сумма = 12) = 1/36

M(случайная величина, принимающая значение суммы выпавших на кубиках очков) = (2+6+12+20+30+42+40+36+30+22+12)/36 = (152+88+12)/36 = 252/36 = 126/18 = 63/9 = 7

M(X^2) = (4+18+48+100+180+294+320+324+300+242+144)/36 = 1974/36 = 54,8333… .

DX = 54,83333… - 49= 5,83333… .

4.Бросают игральный кубик. Найдите условную вероятость выпадения нечетной цифры, при условии, что выпала цифра, большая 4.

Условие: выпало больше 4, т.е. 5 или 6, т.е.2 исхода. Поскольку должна выпасть нечётная цифра, то должна выпасть 5, т.е. 1 исход. Итого: вероятность ½.

5. С.в. нормально распределена с математическим ожиданием и дисперсией . Найдите вероятности событий и выясните, зависимы ли эти события.

P(X<8) = F(8) = 0.5*(1+erf(3/(8*sqrt{2})))

P(2<X) = 1-F(2) = 0.5*(1-0) = 0,5

Erf – это интеграл Лапласа (см.выше)

39

1.Укажите расширенную формулу сложения вероятностей:

1в. ;

2.Опишите интегральную теорему Муавра-Лапласа.

Интегральная теорема Муавра- Лапласа: Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность Р_п(т₁, т₂) того, что событие А появится в п испытаниях от т₁ до т₂ раз. Приближенно равна определенному интегралу

   где

Данный интеграл называется функцией Лапласа и обозначается Ф(х)

3.Характеристическое свойство показательного распределения.

 P (X > x₁ +x₂) = P (X > x₁) P (X > x₂)

4.Бросают игральный кубик. Найдите условную вероятность выпадения нечетной цифры, при условии, что выпала цифра, большая 4.

Условие: выпало больше 4, т.е. 5 или 6, т.е.2 исхода. Поскольку должна выпасть нечётная цифра, то должна выпасть 5, т.е. 1 исход. Итого: вероятность ½.

5.С.в. распределена по показательному закону с параметром . Найдите вероятности событий и выясните, зависимы ли эти события.

P(X<1) = F(1) = 1-e^(-2)

P(X>2) = 1-F(2) = 1-e^(-4)

События независимы

50

1. С.в. распределена нормально с математическим ожиданием, равным единице и средним квадратическим отклонением, равным двум. Пусть . Найти вероятности . Напишите функции плотности и распределения для и постройте их примерные графики. Как выглядит для с.в. правило «трех сигм»?

2.Вероятность того, что деталь не проверялась в ОТК, равна . Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется от 70 до 100 деталей, не проверенных в ОТК.

3.Сколько надо запланировать бросков игрального кубика, чтобы с вероятностью 0,8 выпало не менее 10 шестерок?

51

1. С.в. распределена нормально с математическим ожиданием, равным единице и средним квадратическим отклонением, равным двум. Пусть . Найти вероятности , . Напишите функции плотности и распределения для и постройте их примерные графики. Как выглядит для с.в. правило «трех сигм»?

2.В пути повреждается каждое восьмое изделие. Найти вероятность того, что в партии из 700 изделий поврежденных окажется от 80 до 120.

3.Сколько надо запланировать бросков монеты, чтобы с вероятностью 0,95 выпало не менее 50 гербов?

52

1.С.в. распределена нормально с математическим ожиданием, равным двум и средним квадратическим отклонением, равным трем. Пусть . Найти вероятности . Напишите функции плотности и распределения для и постройте их примерные графики. Как выглядит для с.в. правило «трех сигм»?

2.Фамилия каждого десятого мужчины начинается с буквы М. Найти вероятность того, что среди 900 солдат полка окажется от 80 до 120 солдат, чьи фамилии начинаются с буквы М.

3.Кредитный отдел банка проанализировал выданные кредиты по двум параметрам: по величине и по длительности. Получилась такая таблица: . Определить, являются ли эти параметры независимыми? Найти законы распределения краткосрочных и долгосрочных кредитов по группам мелких, средних и крупных кредитов.Определить вероятность, что кредит долгосрочный, если известно, что он не мелкий.

53

1.С.в. распределена нормально с математическим ожиданием, равным двум и средним квадратическим отклонением, равным единице. Пусть . Найти вероятности ,

. Напишите функции плотности и распределения для и постройте их примерные графики. Как выглядит для с.в. правило «трех сигм»?

2.Каждый двадцатый кредит не возвращается в срок. В этом году банк планирует выдать около 300 кредитов. Найти вероятность того, что только не более 10 кредитов не будут возвращены в срок.

3.С.в. Х,У независисимы и равномерно распределены на отрезках [0,1] и [0,2] соответственно. Найти коэффициент корреляции между с.в. Х+2У и 2Х-У.

55

1. С.в. распределена нормально с математическим ожиданием 10. Пусть . Найти среднее квадратическое отклонение, затем написать функцию плотности. Найти , .

2. При изготовлении отливок получается 10% дефектных. Сколько необходимо запланировать отливок к изготовлению, чтобы с вероятностью 0,95 получилось не менее 50 бездефектных?

3.На заводе два одинаковых и независмо работающих цеха. В начале месяца по каждому цеху был составлен веоятностный прогноз выполнения плана: ; . Какова вероятность выполнения плана всем заводом? Известно, что первый цех план выполнил. Какова вероятность, что и весь завод план выполнил?

56

1.С.в. распределена нормально с математическим ожиданием 10. Пусть . Найти среднее квадратическое отклонение, затем написать функцию плотности. Найти , .

2.При изготовлении отливок получается 10% дефектных. Сколько необходимо запланировать отливок к изготовлению, чтобы с вероятностью 0,95 получилось не менее 50 бездефектных?

3.Распределение призывников по родам войск и возрасту таково:

армия авиация флот

моложе 20 лет 0,35 0,18 0,2

старше 20 лет 0,08 0,13 0,6

Каков % призывников идет в тот или иной род войск? Являются ли возраст и род войск независимы? Какова вероятность для призывника попасть в аармию, в авиацию, на флот, если он моложе 20 лет ?

57

1. С.в. распределена нормально со средним квадратическим отклонением 5. Пусть .Найти математическое ожидание, затем написать функцию плотности. Найти P(0<X<10), P(X>3), P(X=7).

2. Банкомат выдает стандартные суммы в $ 500, $ 100, и $ 50,причем первые составляют лишь 20%, а последние 60% всех выдач. В сутки банкомат осуществляет примерно 100 выдач. Сколько же долларов надо заложить в банкомат утром, чтобы до следующего утра их хватило с вероятностью не меньшей 0,9 ?

3.В институте вечерники составляют 20% студентов. Известно, что распределение по дневному и вечернему обучению приблизительно независимо. Составьте примерное процентное распределение студентов по трем специальностям института: менеджмент, бухгалтерский учет и финансовые риски, если распределение по этим специальностям примерно равное.

58

1.В районе 10 универсамов, примерно одинаковых. Суммарная суточная выручка в них равна в среднем 10 млн руб. и в 90% всех случаев отличается от 10 млн руб. не более чем на 1 млн руб. Найти вероятности того, что очередная суточная суммарная выручка: а) превысит 12 млн руб.; б) окажется меньше 9 млн руб.; в) окажется в пределах от 8 млн руб. до 12 млн руб.

2.Сколько необходимо запланировать бросков монеты, чтобы с вероятностью 0,95 выпало не менее 50 гербов?

3. В референдуме 60% населения оказалось "за", остальные против. Сколько бюллетеней надо обработать, чтобы с вероятностью не менее 0,95 в них встретились оба ответа?

59

1.С.в. распределена нормально с математическим ожиданием, равным нулю и средним квадратическим отклонением, равным двум. Пусть . Найти математическое ожидание, затем написать функцию плотности. Найти , .Напишите функции плотности и распределения для и постройте их примерные графики. Как выглядит для с.в. правило «трех сигм»?

2.Компьютер автоматически рассылает факсовое собщение 100 абонентам. Вероятность, что факс абонента занят, равна 1/4- в этом случае компьютер переходит к посылке сообщения следующему абоненту. Найти вероятность, что сообщение будет послано не менее 80 абонентам.

3.С.в. независимы и равномерно распределены на отрезках [0,1] и [0,2] соответственно. Найти коэффициент корреляции с.в. .